Núcleo e Imagem

por **Razoli** » Sex Mai 08, 2015 11:25

Alguém poderia me ajudar com esse exercicio?

Considere a transformação Linear $P3(x) \rightarrow R$ dada por:

$T(p(x)) = \int_{-1}^{1}p(x)dx + p'(0)$

Determine a base do Ker(T) e uma base para a Im(T).

por **adauto martins** » Dom Mai 10, 2015 15:43

${P}_{3}$ ={ $(a{x}^{3},b{x}^{2},cx,d)$ / $a,b,c,dx\in\Re$ }...
$T(P)=\int_{-1}^{1}({x}^{3},{x}^{2},x,0)dx+p'(0)=$ $\int_{-1}^{1}a{x}^{3}dx+\int_{-1}^{1}b{x}^{2}dx+\int_{-1}^{1}cxdx+\int_{-1}^{1}ddx+(0,0,0,0)=a\int_{-1}^{1}{x}^{3}dx+b\int_{-1}^{1}{x}^{2}dx+c\int_{-1}^{1}xdx+d\int_{-1}^{1}dx$ ...a integral de funçoes pares em um intervalo simetrico eh 2. $\int_{-a}^{a}f(x)dx$ ...a integral de funçoes impares em intervalos simetricos eh nula(prove isso)...logo... $T({P}_{3})=(0+2b.{x}^{3}/3+0+2.dx)[-1,1]=(4/3)b+4d$ ...
N(T)=

{ $T(P)=0,P\in{\Re}^{4}$ }...logo...
$T(P)=(4/3)b+4d=0\Rightarrow b=-3d\Rightarrow v\in N(T(P))/v=(0,-3d,0,d)=d(0,-3,0,1)\Rightarrow B(N(T))=[(0,-3,0,1)]\in {\Re}^{4}$ ...
IM(T)=

{ $b \in \Re,d\in \Re$ } $\in {\Re}$

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