[Coordenadas de um ponto simetrico]

[lucasdemirand]

Determinar as coordenadas do ponto Q, simétrico do ponto P(2,1,3) em relação ao plano 4x-3y+z+18=0
tenho em meu gabarito a resposta (-6,7,1) no entanto não consigo chegar a esse valor, como devo proceder para a execução do exercício ?

[e8group]

Obs.: Cada código entre [; ;] recomendo que copie e cole neste site http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php?lang=pt-br para visualizar .

Antes de começar este exercício ,vamos ver um exemplo simples em [; \mathbb{R}^1 = \mathbb{R}; ] (Reta). Os números [; 2 , - 2 ;] são simétricos em relação a origem ,e temos a seguinte propriedade :

(i) A distância entre os números 2 e -2 é equivalente ao dobro da distância entre os números 0 e 2 assim como 0 e - 2 ,isto é ,
[; d(-2,2) = 2 d(-2,0) = 2d(0,2) ;] onde denotamos [; d(a,b) = |b-a| = max\{b-a,a-b\} ;] para [;a,b; \in \mathbb{R} ] .

Em [; \mathbb{R}^2 ; ] (plano), ..., [; \mathbb{R}^n = \mathbb{R} \times \hdots \times \mathbb{R} (n-\text{vezes}) ;] (espaço euclidiano n-dimensional) é análogo .Considere [;P,Q,M ;] em [; \mathbb{R}^n ; ] e suponha P simétrico de Q em relação à M . Temos a seguinte propriedade :

(i) A distância entre os pontos P e Q é equivalente ao dobro da distância entre os pontos M e P assim como Q e M ,isto é ,
[; d(P,Q) = 2 d(Q,M) = 2d(M,P) ;] onde denotamos [; d(A,B) = ||B-A|| = \sqrt{(x_1 - y_1)^2 + \hdots + x_n - y_n)^2} ;] para [;A=(y_1,\hdots ,y_n) ,B=(x_1,\hdots ,x_n) \in \mathbb{R}^n ;]

(ii) Além do item (i). Por álgebra vetorial [; \overrightarrow{QP} = 2 \overrightarrow{MP} ;] .Mas ,

[; \overrightarrow{QP} = \overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OQ} ;] e portanto [; \overrightarrow{OP} - 2 \overrightarrow{MP} = \overrightarrow{OQ} ;] em que [; O = (0, \hdots ,0 ) \in \mathbb{R}^n ;] . Assim concluímos que a i-ésima coordenada do ponto Q corresponde a i-ésima componente do vetor [; \overrightarrow{OP} - 2 \overrightarrow{MP} ;] para i =1,...,n .

Quanto ao exercício estamos no caso em n = 3 . Considere então [;Q,M \in \mathbb{R}^3 ;] tal que M pertença ao plano dado (chamamos de \pi ) e Q seja simétrico de P(dado) em relação ao ponto M . Observe que este ponto M é tal que a distância de P à \pi (equivalentemente Q à \pi ) seja menor possível e isto ocorre somente quando os vetores normal ao plano e [;\overrightarrow{MP} ;] sejam paralelos ,então obtemos que existe um escalar a em R tal que [;\overrightarrow{MP} = a(4,-3,1) ;] .Por outro lado ,[; M = (x,y, -18-4x+3y) ;] (x e y a ser determinados ) [Pois M pertence à \pi ] e
[; \overrightarrow{MP} = (2-x,1-y,21+4x-3y) ;] e portanto [;(2-x,1-y,21+4x-3y) =a(4,-3,1) = (4a,-3a,a) ;] que se resume a um sistema linear de três equações para três incógnitas , a saber ,

[; (2-x,1-y,21+4x-3y) =a(4,-3,1) = (4a,-3a,a) = \begin{cases}2-x = 4a \\ 1-y = -3a \\ 21+4x-3y = a\end{cases} ;] que nos fornece como solução [; a= 1 , x = -2, y = 4 ;] (Faças as contas !) .

Agora pelo item (ii) vimos que i-ésima coordenada do ponto Q corresponde a i-ésima componente do vetor [; \overrightarrow{OP} - 2 \overrightarrow{MP} ;] para i =1,...,n . Aplicando a este caso com n = 3 e sendo

[; \overrightarrow{OP} - 2 \overrightarrow{MP} = (2,1,3) -2(4,-3,1) = (-6,7,1) ;] obtemos

Q = (-6,7,1) .