algebra linear

por **junior oliveira** » Sex Jun 14, 2013 17:07

Dizemos que uma matriz A é simétrica se A^t = A e que A é antissimétrica se
At = -A. Mostre que
a. Se Amxn é uma matriz qualquer, então as matrizes Bnxn = A^t.A e Cmm = AA^t
são simétricas;
b. Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então as matrizes B = 1/2(A+A^t)
e C = 1/2 (A - At) são, respectivamente, simétrica e antissimétrica;
c. Usando o item anterior, mostre que toda matriz pode ser escrita de forma única
como soma de uma matriz simétrica com uma antissimétrica;
d. Mostre que a única matriz que é, simultaneamente, simétrica e antissimétrica é a
matriz nula.
passo a passo em gente, valeu

por **e8group** » Sex Jun 14, 2013 20:15

O que você tentou ?

(a) Deve mostrar que B^t = B ; C^t = C

.Para isto,note que :

$[A^t\cdot A]_{ij} = \sum_{k=1}^{n}[A^t]_{ik}[A]_{kj}$ para todo $i =1,\hdots, m ;j =1,\hdots, n$ . Observando , $[A^t]_{ik}[A]_{kj} = [A]_{ki}[A^t]_{jk}$ e como produtos de números são comutativos ,você pode concluir que $[A]_{ki}[A^t]_{jk} = [A^t]_{jk} \cdot [A]_{ki}$ .Logo , $\sum_{k=1}^{n}[A^t]_{ik}[A]_{kj} = \sum_{k=1}^{n}[A^t]_{jk} \cdot [A]_{ki} = [B]_{ji}$ para todo $i =1,\hdots, m ;j =1,\hdots, n$ . A outra questão é análoga .

(b) Basta utilizar a comutatividade da adição e comparar o resultado com B^t

e na outra matriz ,evidencie

e compare com - C^t

.

(c) Basta somar elas e mostrar que se pede no enunciado .

(d) Seja $S , A \subset {M_{n\times n}(\mathbb{R})}$ ,respectivamente ,o conjunto das matrizes simétricas e anti-simétricas .Basta mostra que $S\cap A = \{O_{M_{n\times n}(\mathbb{R})}\}$ . Onde : $O_{M_{n\times n}(\mathbb{R})$ é o vetor nulo do conjunto das matrizes $n\times n$ .

Comente as dúvidas .

Observação :Post apenas uma dúvida por tópico na próxima vez ,certo ?

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