TRANSFORNAÇÃO LINEAR

por **baianinha** » Seg Fev 21, 2011 12:59

Sabendo que a matriz de uma transformação linear t: ${P}_{2}$ (R) $\rightarrow{M}_{2x2(R)}$
nas bases a={ t, t+2, ${t}^{2}$ } do ${P}_{2}(R) e B=$ ${\left[ \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} \right],$ $\left[ \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} \right],$ $\left[ \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix},} \right],$ $\left[ \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} \right],$ $\left[T \right]A.B= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Como faço para encontrar a expressão de T (X,Y)?

por **LuizAquino** » Ter Fev 22, 2011 16:44

baianinha escreveu:Sabe-se que a matriz de uma transformação linear $T:P_2(\mathbb{R}) \rightarrow M_{2\times 2}(\mathbb{R})$

é dada por $[T]_A^B = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ ,

considerando as bases $A=\{ t,\, t+2,\, t^2\}$ de $P_2(\mathbb{R})$ e $B=\left\{ \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, \, \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix},\, \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix},\, \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \right\}$ de $M_{2\times 2}(\mathbb{R})$ .

Encontrar a expressão de T(p).

Do conhecimento de Álgebra Linear, sabemos que:

[T(p)]_B = [T]_A^B[p]_A

onde

- vetor de coordenadas de T(p) na base B;
[T]_A^B

- matriz de T em relação as bases A e B;
[p]_A

- vetor de coordenadas de p na base A;

Primeiro, vamos determinar quem é o vetor de coordenadas de p na base A. Sabemos que um polinômio de 2° grau é dado por p(t) = at^2 + bt + c

. Nós queremos descobrir os escalares k1, k2 e k3 de modo que p(t) = k_1t + k_2(t+2) + k_3t^2

. Arrumando essa equação e comparando os coeficientes dos polinômios, é fácil obter que $k_1 = b - \frac{c}{2}$ , $k_2 = \frac{c}{2}$ , k_3 = a

. Portanto, temos que:
$[p]_A = \begin{bmatrix} b -\frac{c}{2} \\ \frac{c}{2} \\ a \end{bmatrix}_A$

Desse modo, obtemos que:
$[T(p)]_B = [T]_A^B[p]_A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}_A^B \begin{bmatrix} b -\frac{c}{2} \\ \frac{c}{2} \\ a \end{bmatrix}_A = \begin{bmatrix} b \\ \frac{c}{2} \\ - a \\ a \end{bmatrix}_B$

Escrevendo

usando o vetor de coordenadas calculado e a base B dada, nós temos:

$T(p) = b\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + \frac{c}{2}\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} - a\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} + a\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$

$T(p) = \begin{bmatrix} b & b+\frac{c}{2} \\ \frac{c}{2} & a \end{bmatrix}$

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