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Preparação para a OBM

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  1. Não envie somente enunciados de problemas, informe suas tentativas e dificuldades!

    Queremos que a "ajuda" represente um trabalho interativo, pois saber especificar a dúvida exige estudo.

    Serão desconsiderados tópicos apenas com enunciados, sem interação. Nosso objetivo não é resolver listas de exercícios;



  2. Para não haver má interpretação em suas postagens, especialmente na precedência das operações, utilize LaTeX, podendo ser a partir do botão "editor de fórmulas".


    Bons estudos!

Preparação para a OBM

Mensagempor mrmmo » Qua Jun 02, 2010 22:30

Oi pessoal.

Eu sou aluno do Ensino Médio (curso o 1º ano) e mudei este ano para uma escola de maior porte. E pela 1ª vez vou participar da Olimpíada Brasileira de Matemática (OBM). A prova da 1ª fase será sábado, 12/06.

Baixei a prova do ano passado e tive certa dificuldade ao tentar resolver algumas questões. É necessário desenvolver raciocínios diferentes, e é sobre isso que queria discutir. Eu penso de forma padrão. Não estou acostumado com questões que exigem maior raciocínio...

Considero-me preparado em relação aos conteúdos (procedimentos), exceto por geometria, que não sinto muita segurança. No mais, queria discutir com vocês sobre alguns raciocínios da OBM. Se possível, gostaria que algumas questões fossem resolvidas de forma explicada, para que eu tenha uma noção mais aprofundada do que é necessário.

A propósito, parabéns pelo fórum e pelo trabalho desenvolvido. Sou administrador de um fórum e sei como é duro manter!

[]s, mrmmo
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Re: Preparação para a OBM

Mensagempor Douglasm » Qua Jun 02, 2010 22:44

Olá mrmmo. Seja bem vindo ao fórum. Qualquer dúvida que tiver poste aqui pois estou certo de que não só eu, mas como muitos outros lhe ajudarão. Tal raciocínio ao qual você se refere costuma aparecer com o tempo, mas claro, desde que você pratique aumentando progressivamente seu nível. Como você ainda está no 1º ano, terá muitas oportunidades para desenvovê-lo. Se você gosta mesmo de matemática, (creio eu que seja assim, por conta da sua participação da OBM) não se contente apenas com o que te dão na escola, procure estudar mais por conta própria, procure alguns livros que aprofundem mais os assuntos (os livros usados nas escolas normalmente são muito "enxugados"). Um exemplo ótimo seriam os livros de geometria do Morgado, que são excelentes (mas que vão lhe ensinar mais do que você aprenderá durante todo seu ensino médio). Enfim, boa sorte!
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Re: Preparação para a OBM

Mensagempor mrmmo » Qui Jun 03, 2010 12:45

Bem, tentei resolver a primeira página (questões 1 a 6) da prova da primeira fase (nível 3 - ensino médio). Senti certa dificuldade nas 5 primeiras. É bem diferente do que estou acostumado, então queria se saber que vocês poderiam demonstrar como resolvê-las e o raciocínio utilizado. A imagem está abaixo...
Imagem

E eu tô perdido na questão 4, minha geometria é precária pelo visto (e pelo visto boa parte é geometria...)

Moderação: No momento da criação deste tópico, outros dois idênticos foram criados. Solicito que o assunto seja discutido neste e que os outros dois sejam removidos (um possui uma mensagem, que gostaria que fosse movida pra cá).
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Re: Preparação para a OBM

Mensagempor Douglasm » Qui Jun 03, 2010 14:26

Olá mrmmo. Vamos lá:

2) Podemos modificar a expressão 15m = 20n, veja só:

\frac{m}{20} = \frac{n}{15}

Multiplicando a expressÃão por 5:

\frac{m}{4} = \frac{n}{3}

Olhando para esta expressão e sabendo que m e n são ambos inteiros positivos, podemos afirmar que m deve ser múltiplo de 4 e n deve ser múltiplo de 3, logo:

n = 3k , k = 1,2,3,... e m = 4k' , k' = 1,2,3,...

Portanto:

mn = (3.4)k'' = 12k'' , k'' = 1,2,3,...

Resposta: Letra C - mn é múltiplo de 12

3) Para resolver essa, o processo é o seguinte:

1º- Determinar as raízes da equação:

x^2 = x + 3 \; \therefore \; x^2 - x - 3 = 0 \; \therefore

x = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}\; ; \;x = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{13}}{2}

2º - Elevar uma dessas raízes ao cubo:

\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}\right)^3 = \frac{1}{8} + \frac{3\sqrt{13}}{8} + \frac{39}{8} + \frac{13\sqrt{13}}{8} \; \therefore

\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}\right)^3 = \frac{40}{8} + \frac{16\sqrt{13}}{8} = 5 + 2\sqrt{13}

3º - Comparar esse resultado com a raiz original:

x = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}

x^3 = 5 + 2\sqrt{13} = 2 + 2\sqrt{13} + 3 = 4\left(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{13}}{2}\right) + 3 = 4x +3

Resposta: Letra D - x^3 = 4x + 3

4) Aqui eu fiz um desenho ilustrando somente as partes que interessam do quadrado. Os ângulos pretos são ângulos evidentes (25º foi dado como a rotação de um quadrado e 45º é o ângulo formado pela diagonal); os ângulos azuis são os ângulos deduzidos (lembrando que a soma dos ângulos internos de um triângulo é 180º); o ângulo vermelho é a resposta:

quadrado giratório.jpg


Resposta: Letra D - 65º

5) Neste eu simplesmente fiz por tentativa. Somando todos temos 152, agora é só subtrairmos um por um e ver se o resultado é divisível pelo número subtraído. Por esse processo encontramos:

152 - 38 = 114 = 38 x 3

Resposta: Letra D - 38

6) Esta é uma simples questão de lógica.

Resposta: Letra E - Nenhuma das afirmações acima é certamente verdadeira.

Espero ter te ajudado. Sobre a geometria, o negócio é praticar.

Até a próxima.

OBS: Você disse ter dificuldade nas 5 primeiras, mas a questão 1 não aparece na figura.
Você não está autorizado a ver ou baixar esse anexo.
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Re: Preparação para a OBM

Mensagempor mrmmo » Qui Jun 03, 2010 15:42

Valeu cara!
A primeira não está por que eu resolvi sem maiores dificuldades, foi erro de digitação mesmo.
Eu já havia resolvido a 5ª e 6ª questões. A 2ª também, mas estava em dúvida sobre o procedimento.
A 3ª não. Fiz uma infinidade de cálculos e caí em equações sem saída. Realmente ter o raciocínio certo é imprescindível, até mesmo pelo tempo.
A 4ª estava totalmente perdido, obrigado por esclarecer alguns pontos. ;)

Vou refazer os exercícios e partirei para a próxima página. Até a noite já terei postado!

Abraços.
mrmmo
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Re: Preparação para a OBM

Mensagempor mrmmo » Qui Jun 03, 2010 18:39

Olá,

Tentei resolver a 2ª página (questões 7 a 12).

Imagem

A 7ª resolvi sem problemas. A 8ª (figura acima) não. Até tentei utilizar relações de polígonos regulares (criei outro triângulo oposto ao KLM, formando um quadrado):
d = l\sqrt[2]{2}

Mas chego à hipotenusa de valor KM = 4\sqrt[2]{2}
E lados LM = KL = 4

O lado não pode ser 4, uma vez que o do quadrado já o é e ambos não são iguais.

As demais:

Imagem

10) Eu dividi 360° pela quantidade de minutos que possui uma volta completa, chegando à conclusão que cada minuto move o ponteiro correspondente em 6°. Dividindo 145° por 6°, são cerca de 24 minutos, que me fez marcar a letra D. Porém, ao ver o gabarito, a correta é a E. Atribuí ao fato de o ponteiro das horas também se movimentar, mas não sei como chegar ao valor e à fração de tempo em que ela se movimenta. Você sabe?

11) Fiz por tentativa, comparando o número de divisores de dois números ímpares não-primos (9 e 15). É um pouco lógico, já que números pares possuem mais divisores e o dobro de um ímpar sempre é par. No entanto, queria saber se há modo mais prático de fazer.

12) Não sei como proceder em questões desse tipo. *-)

Abraços, obrigado.
mrmmo
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Re: Preparação para a OBM

Mensagempor Douglasm » Qui Jun 03, 2010 20:27

Vamos lá.

8) Aqui o mais interessante é tentar determinar os valores de DK e CM pois eles vão nos dar as bases do trapézio CDMK. Eu fiz uma figura que creio demonstrar o raciocínio usado de modo satisfatório. Nela, ângulos iguais tem cores iguais (lembrando que os ângulos "azul" e "verde" são complementares, ou seja, somados resultam em 90º).

obm1.jpg


Vendo que as bases são x e y e que x+y = 4 (lado do quadrado), calculamos a área:

A = B_m h = \frac{x+y}{2}.4 = 2.4 = 8\;u.a.

Resposta: Letra B

10) Aqui seu erro foi calcular apenas o movimento do ponteiro dos minutos, sem considerar o ponteiro das horas. Você já notou que o ponteiro dos minutos se move 6º/min, mas veja também que o ponteiro das horas se move 0,5º/min (360º/12h = 360º/720min). Deste modo, o afastamento relativo entre eles é de 5,5º/ min. Agora sim podemos calcular o tempo que levará para que o ângulo entre eles seja de 145º:

t = \frac{145}{5,5} \approx 26,4\; min

Resposta: Letra E

11) Aqui não creio haver jeito mais prático. A resposta se chega por deduções simples, testando alguns números você já chega a conclusão de que n é um número ímpar.

Resposta: Letra C

12) Esse é um problema de análise combinatória, pode ser resolvido só usando um pouco de lógica:

Primeiramente contemos o número de modos de escolher os dois livros que estarão nos seus lugares originais: Pode-se escolher qualquer um dos 5, depois qualquer um dos 4, resultando em 5.4 = 20 possibilidades de escolha. Mas como a ordem em que se escolhem esses livros não é importante (só interessa escolher 2 dentre os 5) devemos dividir essa quantia por 2, para descontar as vezes que contamos pares iguais, resultando em 20/2 = 10 pares de livros possíveis.

Agora só temos que contar de quantos modos podemos organizar os livros restantes: Como estes não podem voltar aos seus lugares de origem, o primeiro livro a ser posto na estante pode ocupar 2 lugares, os outros dois ficam então com seus lugares definidos.

Sendo assim, o número de modos de realizar esta tarefa é de: 2.10 = 20 modos

Resposta: Letra A

Seria interessante que você, ao postar mais questões, incluísse também as respostas. Até a próxima.
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Re: Preparação para a OBM

Mensagempor mrmmo » Qua Jun 09, 2010 12:22

Olá,

Desculpe a demora em responder, é que não posso deixar as outras matérias de lado...
Vou disponibilizar a prova completa, já a acabei.
As que queria que alguém resolvesse (e suas respostas, como pedido):

15 (c), 16 (c), 20 (e), 22 (a) e 25 (c).

Prova:
.doc - http://www.obm.org.br/export/sites/defa ... ivel_3.doc
.pdf - http://www.obm.org.br/export/sites/defa ... ivel_3.pdf

Abraços e obrigado mais uma vez.
mrmmo
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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D