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Desafio de lógica

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  1. Não envie somente enunciados de problemas, informe suas tentativas e dificuldades!

    Queremos que a "ajuda" represente um trabalho interativo, pois saber especificar a dúvida exige estudo.

    Serão desconsiderados tópicos apenas com enunciados, sem interação. Nosso objetivo não é resolver listas de exercícios;



  2. Para não haver má interpretação em suas postagens, especialmente na precedência das operações, utilize LaTeX, podendo ser a partir do botão "editor de fórmulas".


    Bons estudos!

Desafio de lógica

Mensagempor Twister » Qua Ago 13, 2008 21:46

Pessoal, será que alguém mata esta?? Não tem pegadinha nenhuma...
Dois homens conhecedores de lógica e extremamente rápidos em fazer cálculos mentais, encontram-se na fazenda de um terceiro matemático , também com as mesmas características dos outros dois.
Este, diz que sua fazenda tem formato retangular, com lados medindo um número inteiro de quilômetros de 2 a 62.
Ele dá um papel para o primeiro visitante onde está escrita a área da fazenda em quilômetros quadrados e outro para o segundo, com o perímetro da fazenda em quilômetros.
Segue-se então o diálogo abaixo:
Primeiro visitante diz: Eu não sei as medidas dos lados da fazenda.
Segundo visitante diz: Eu sabia que você não saberia as medidas dos lados da fazenda.
Primeiro visitante diz: Agora eu sei as medidas dos lados da fazenda.
Segundo visitante diz: Agora eu também sei as medidas dos lados da fazenda.

Como ambos falaram a verdade, quais as medidas dos lados da fazenda?
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Re: Desafio de lógica

Mensagempor Molina » Qui Ago 14, 2008 21:54

Interessante o desafio. Não conhecia...
Quando chegar em casa tento resolvê-lo (se ninguém conseguir antes).

Abraços! ;-)
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Re: Desafio de lógica

Mensagempor Neperiano » Seg Out 06, 2008 16:55

Legal o seu desafio, eu ainda naum consegui resolve-lo.

Creio que pouquissimos, talvez ninguem consiga resolve-lo.

Quando voltar da escola, tento denovo.

Abraços
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Re: Desafio de lógica

Mensagempor Luiz Augusto Prado » Sáb Nov 28, 2009 21:50

Acho que consegui a resposta.
Resolvi fazendo retangulos do tipo 2x3, 2x4, 3x3, 4x5 etc...
Queria saber como equacionar este problema.

Minha solução:
o 1º tinha uma área inteira.
Esta área deveria ser multipla de 2 numeros que não sabemos qual é.
mas 2 pares de números podem gerar a mesma area.
Ele não sabe qual dos pares. 2x6=12 com perimetro 16 (1 par) ou 3x4=12 com perimetro=14 (outro par de numeros). O 1º sabe que o perimetro 16 tem outra solução 3x5 diferente de sua área, e se essa fosse sua área, o 2º não esperaria por dica, já que ele saberia automaticamente com 3x5 que a área = 15. unico perimetro permitido para esta área. Se o 2º falasse que seria natural ter dúvida, 3x4 é a solução.
Se o 2º falar que a solução é obvia, então a solucao é 2x6, já que o perimetro 16 permite 2x6 e 3x5, de forma que 3x5 seria excluida da resposta já que o 1º não teria duvidas quanto a ela.

O 1º deu a dica quando disse que tinha duvidas entre qual par:

para o 2º também existem 2 áreas possiveis para o perímetro que tem em suas mãos.
Para o perimetro = 14 existem os pares 2x5 e 3x4. Se a area fosse 10, o 1º não teria dúvidas.
Então , o 2º ouve a dica do primeiro e observa que que 3x4 permite area 12 e
descobre que o 1º espera que os lados sejam 2x6 ou 3x4. 2x5 é então excluido pois
só existe um perimetro com esta área e o 1º já saberia sem precisar falar nada, o que não ocorreu.
Sobra apenas 3x4 para o 1º, que ainda não sabe até a dica do 2º.

O 2º sabendo que a área é 12 e que os lados esperados pelo 1º são 2x6 ou 3x4
responde que ele realmente teria dúvidas sobre a área.

Agora o 1º também sabe a solução

Posso ter cometido algum erro de interpretação do texto e gostaria de confirmação desta questão.
Onde encontrou ela e como equacionaria esta questão sem precisar desenhar vários retangulos?
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Re: Desafio de lógica

Mensagempor Elcioschin » Seg Nov 30, 2009 13:39

Vou tentar dar uma ajuda algébrica

Área ----> S = x*y ----> y = S/x

Perímetro ----> P = 2x + 2y -----> P = 2x + 2*(S/x) ----> Px = 2x² + 2S ----> 2x² - Px + 2S = 0

Discriminante da equação do 2º grau ----> D = b² - 4ac ----> D = (-P)² - 4*2*2S ----> D = P² - 16S

Para x ser inteiro D deve ser um quadrado perfeito ----> D = k² -----> P² - 16S = k²

(2x + 2y)² - 16*(xy) = k² ----> 4x² + 8xy + 4y² - 16xy = k² -----> 4*(x² - 2xy + y²) = k² ----> 4*(x - y)² = k²

2*(x - y) = k ----> x - y = k/2 ----> k é par

Fazendo k = 2, 4, 6, ..... teremos todas as soluções possíveis para x, y lembrando que 2 =< x =< 62 e 2 =< y =< 62

A partir daí é só seguir a lógica e indo descartando os valores de x, y que não atendem.

Por favor, prossigam a partir daí!
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Re: Desafio de lógica

Mensagempor Cleyson007 » Ter Dez 01, 2009 19:05

Boa noite Elcioschin!

Você é fera hein Elcio!

Estou encontrando dificuldade em entender: Para x ser inteiro D deve ser um quadrado perfeito ----> D = k² -----> P² - 16S = k²

Agradeço sua ajuda!

Até mais.
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Re: Desafio de lógica

Mensagempor Elcioschin » Ter Dez 01, 2009 19:32

Cleyson

A equação do 2º grau é ----> 2x² - Px + 2S = 0

Raízes da equação do 2º grau ax² + bx + c = 0 ----> x = [- b + - V(b² - 4ac)]2*a -----> x = [- b + - V(D)]/2*a

Na nossa equação ----> a = 2, b = -P, c = 2S

Discriminante D da equação do 2º grau ----> D = b² - 4*a*c ----> D = (-P)² - 4*2*2S ----> D = P² - 16S

Raízes da equação do 2º grau ----> x = [- (-P) + - V(P² - 16S)]/2*2 -----> x = [P + - V(P² - 16S)]/4

Veja agora ----> x é inteiro ----> o 2º membro é inteiro

No 2º membro P é inteiro, logo V(P² - 16S) é inteiro ----> Logo, (P² - 16S) OBRIGATORIAMENTE deve ser um quadrado perfeito para a raiz quadrada ser também um número inteiro.

E ainda vou dar mais um palpite ----> [P + - V(P² - 16S)] deve ser múltiplo de 4
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Re: Desafio de lógica

Mensagempor Cleyson007 » Qua Dez 02, 2009 21:07

Boa noite Elcioschin!

Ainda continuo confuso com a resolução do exercício..

Consegui entender até aqui: \frac{-(-P)+\sqrt[2]{{P}^{2}-16S}}{4}

Consegui entender que o segundo membro deve ser inteiro (consequentemente, P²-16 é inteiro).

Agora, devo substituir valores para P e S que satisfazem essa condição?


Aguardo sua ajuda!

Até mais.
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Re: Desafio de lógica

Mensagempor Elcioschin » Qui Dez 03, 2009 11:06

Cleyson

Ótimo que vc tenha entendido o motivo de (P² - 16S) ser um quadrado perfeito.

Quanto à sua pergunta a resposta é não: veja novamente minha mensagem original, a partir da linha em que eu escrevo:

P² - 16S = k²

O que você deve fazer é dar valores para k (par) e descobrir quais valores de x, y atendem, por exemplo:

Para k = 2 ----> x - y = 1 ----> Pares (x, y) possíveis: (3, 2), (4, 3), (5, 4) ...... (62, 61)

Para k = 4 ----> x - y = 2 ----> Pares (x, y) possíveis: (4, 2), (5, 3), (6, 4) ...... (62, 60)

E assim por diante.
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Re: Desafio de lógica

Mensagempor Cleyson007 » Ter Dez 08, 2009 18:30

Boa tarde Elcioschin!

Ainda estou confuso, e não consegui fazer mais nada *-)

Por favor, apresente sua solução!

Até mais.

Obrigado.
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Re: Desafio de lógica

Mensagempor andymath » Qua Mar 31, 2010 19:14

Eu não sei se a resposta tá certa, mas vamos lá

Se o primeiro, que sabe a área, não sabe quais são os lados, é porque:

- Ou a área é ≥ 12 (porque 11 é impossível; 10 só poderia ter lados 2 e 5; 9 só lados iguais a 3; 8 só poderia ter lados 2 e 4; 7 é impossível; 6 só poderia ter lados 3 e 2; 5 é impossível, 4 só lados iguais a 2;) ou a fatoração da área tanto não dá um produto de somente dois números primos como também não dá o produto de nenhum número não-primo por um primo ≥ 31. Porque se fosse um dos casos:

A < 12
A = x × y = {(2 × 2), (2 ×3), (2 × 4), (3 × 3), (2 × 5)}

* Note que 11, 7 e 5 implicariam em um dos lados medindo 1, o que é impossível pela faixa dada no problema. *

Portanto se A < 12, os lados seriam descobertos facilmente.

Já se a fatoração desse o produto de dois números primos, como a área da fazenda é obrigatoriamente o produto de dois números, o problema também seria automaticamente resolvido.

O detalhe interessante é que se, na fatoração, um dos fatores fosse ≥ 31, ou seja:

A/31 = um número não-primo qualquer, então também estaria resolvido o problema pq não existe nenhum número não-primo que possamos multiplicar por um primo ≥ 31 para encontrar valores entre 2 e 62.

Portanto, conclui-se que, quando o primeiro diz não saber quais são os lados da fazenda ele implicita a idéia de que a área é um número ≥ 12 formado pela multiplicação de um número primo ≤ 31 por um outro número não-primo qualquer.

Entretanto, o segundo não teria como prever o fato de o primeiro não estar com uma área < 12 ou com um número cuja fatoração tenha somente primos inferiores a 31, a não ser que a soma 2x+2y = 2P (perímetro), ou seja, x+y = P; indique que x e y nem são maiores que 31, isto é:

x + y ≤ 33

pois nesse caso x ≤ 33 - y (y que pode ser no mínimo 2).

Para isso (x + y) ≥ (3 + 4) e ≥ (6 + 2), ou seja ≥ 8 e ≤ 33, então:

8 ≤ (x + y) ≤ 33.

Mas quando o segundo afirma isso para o primeiro ele dá um dica, justamente que a soma está entre 8 e 33, pois essa é a única forma de o segundo poder garantir que certamente e primeiro ainda não tem os números.

O primeiro, por sua vez, só tem condições de resolver o problema se essa informação for definitiva para alguma coisa. E isso só aconteceria se o produto resultasse uma área com mais de 2 termos primos resultando em mais de uma possibilidades.

São eles, xy ≥ 12 e 8 ≤ (x + y) ≤ 33:

12 não serve! O primeiro até ficaria na dúvida entre x = 3 e y = 4 ou x = 2 e y = 6, mas se o perímetro fosse 14, (x + y), portanto = 7, como seria ≤ 8, o segundo não teria razões para suspeitar que o primeiro não soubesse quais os lados da fazenda.

13 também não serve porque é primo, logo só seria solução se um dos lados pudesse ser 1. Isso se aplica a todos os primos deste intervalo [8, 33], que são: 13, 17, 19, 23, 29, 31; nenhum destes servem pelo mesmo motivo.

14 só pode ser expresso em termos de 7 × 2, portanto se a area fosse 14, o primeiro não teria dúvidas.

15 não serve pela mesma razão que 14. O 15 também pode ser expresso sob forma de produto de 2 números primos, o que não geraria dúvidas ao primeiro matemático.

O mesmo ocorre com 21, 22, 25, 26 e 27. Todos são obtidos através do produto de 2 primos. (É só fatorar para confirmar)

Ficamos então com 16, 18, 20, 24, 28 e 30 como possíveis áreas que estariam no papel dado ao primeiro.

Contudo vejamos, 16 = (2 × 8) é um exemplo de uma possibiliadde para os valores de x e y, certo?

Porém se a área fosse 16 e 2 e 8 fossem os valores procurados, apesar de o primeiro não conseguir saber quais são os valores para x e y imediatamente, o segundo não poderia suspeitar disso.

O segundo teria um perímetro = 2(2) + 2(8) = 4 + 16 = 20, logo x + y = 10.

Então, para o segundo matemático, x e y teriam as possibilidades de uma soma que dê 10. Que seriam:

(8 + 2); (7 + 3); (6 + 4) e (5 + 5)

Convém lembrar que só a possibiliadde de x = 7 e y = 3 já faz com que o segundo não possa suspeitar que o primeiro não tem o resultado. Porque nesse caso a área seria 21 que só pode ser escrito como 7 × 3 mesmo...

Logo, buscamos um número cuja soma não possa ser escrita, na forma fatorada, com duas parcelas compostas por números primos.

Testando o 18, 20, 24 e 28, que são alguns que sobraram como possíveis, temos:

18 = 6 × 3, por exemplo, cuja soma 6 + 3 = 9; uma soma que pode ser expressa por 7 + 2, dois números primos, logo 18 não serve.

20 = 4 × 5 -> soma 9, idem o 18, não serve.

24 = 6 × 4 -> soma 10, que pode ser escrita na forma 7 + 3, primo + primo, então não serve.

Note que se escrevermos o 24 como 2 × 12 -> soma 13 tb não serve pq pode ser 7 + 5 (dois primos). Mas se imaginarmos 24 = 8 × 3 -> soma 11, essa serve!

11 não pode ser escrito como a soma de dois primos, veja:

11 = (9 + 2) ou (8 + 3) ou (7 + 4) ou (6 + 5)

Mas como o segundo não sabe qual é o valor de x e y, já descartamos o 24.

O importante, entretanto é que x + y = 11, serve!

28 = 2 × 14 -> soma 16 que pode ser x = 13 e y = 3, não serve! Mas o 28 também pode ser escrito como 4 × 7 -> soma 11, e essa serve.

Cabe aqui fazer uma análise do que já observamos, as áreas que poderiam ser dúvidas na cabeça do primeiro são {16, 18, 20, 24, 28 e 30}, entretanto essas áreas não necessariamente assinalariam para o segundo uma chance real de dúvida, depende da soma x + y que está em seu papel, e como já vimos a soma 11, geraria uma dúvida, se não houvesse outra possibilidade que excluisse o número como favorito para solução. Já descartamos 16, 18, 20, 24 e 28 por esses motivos expostos. Vejamos o 30.

O 30 pode ser escrito como;

(6 × 5) ou (2 × 15)

em um caso soma 11 e, como já vimos, é um bom indício, pois serve.

No outro caso a soma é 2 + 15 = 17, então:

17 = (2 + 15) ou (14 + 3) ou (13 + 4) ou (12 + 5) ou (11 + 6) ou (10 + 7) ou (9 + 8)

Bem, como nenhuma dupla de parcelas é composta só por primos, então a soma 17 também serve!!!

Então a área no papel do primeiro é 30 e a soma no papel do segundo é 17. Por quê?

Porque como o primeiro disse, "Agora eu sei as medidas dos lados da fazenda" é porque ele sabia que a única maneira de x e y serem somados em parcelas que dessem a Alberto a informação que Rodrigo não poderia saber as medidas dos lados da fazenda era se x e y só pudessem ser expressos sob somas que nunca seriam formadas por duas parcelas primas. E apesar de tanto o 11 quanto o 17 serem somas que apresentam tal propriedade, o 17 é a única apresenta parcelas que quando viram fatores geram números que podem ser escritos sempre como somas de não primos.

No caso do 11 = (9 + 2), serve, mas (9 × 2) = 18, já vimos, não serve.
(8 + 3), idem, serve, mas (8 × 3) = 24, que não serve também. Com (7 + 4), o mesmo ocorre, 28, não serve como área. Somente x= 6 e y= 5 serve como soma e como área, então o segundo já saberia as medidas antes do primeiro. Mas como o segundo só disse "Agora eu também sei as medidas dos lados da fazenda" depois que o primeiro disse isso, é porque dos resultados possíveis, mais de um resultava em uma área duvidosa.

Para provar, analisaremos o 17:

(15 + 2) -> serve e (15 × 2) = 30 -> serve
(14 + 3) -> serve e (14 × 3) = 42 -> serve também pois é impossível determinar os lados com essa área. Já com a soma = 17, fica possível.
(13 + 4), (12 + 5), (11 + 6), (10 + 7) e (9 + 8); o mesmo ocorre.

(13 × 4) = 52, (12 × 5) = 60, (11 × 6) = 66, (10 × 7) = 70 e (9 × 8) = 72; faz com que fique impossível saber sem saber que a soma é 17.

Portanto, finalmente, x = 15 e y = 2.

Resposta: A área da fazenda é 30, o perímetro é 34 e os lados são 2 km e 15 km.
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Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Qui Out 13, 2011 22:46

Divida o numero 35 em partes diretamente proporcionais a 4, 10 e 14. Em seguida divida o mesmo numero em partes proporcionais a 6, 15 e 21. explique por que os resultados sao iguais.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Sáb Out 15, 2011 10:25

POR GENTILEZA PODEM VERIFICAR SE O MEU RACIOCINIO ESTÁ CERTO?

P1 = K.4 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P1= 5
P2 = K.10 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P2= 12,50
P3 = K.13 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P3= 17,50

P1+P2+P3 = 35
K.4+K.10+K.13 = 35
28 K = 35
K= 1,25


P1 = K.6 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P1= 5
P2 = K.15 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P2 = 12,50
P3 = K.21 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P3 = 17,50
K.6+K.15+K.21 = 35
42K = 35
K= 0,833


4/6 =10/15 =14/21 RAZÃO = 2/3

SERÁ QUE ESTÁ CERTO?
ALGUEM PODE ME AJUDAR A EXPLICAR MELHOR?
OBRIGADA
SILVIA


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Dom Out 16, 2011 00:37

utilize a definição e não se baseie no exercícios resolvidos da redefor, assim você terá mais clareza, mas acredito que sua conclusão esteja correto, pois o motivo de darem o mesmo resultado é pq a razão é a mesma.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: Marcos Roberto - Dom Out 16, 2011 18:24

Silvia:
Acho que o resultado é o mesmo pq as razões dos coeficientes e as razões entre os números são inversamente proporcionais.

Você conseguiu achar o dia em que caiu 15 de novembro de 1889?


Assunto: Proporcionalidade
Autor: deiasp - Dom Out 16, 2011 23:45

Ola pessoal
Tb. estou no redefor
O dia da semana em 15 de novembro de 1889, acredito que foi em uma sexta feira


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Seg Out 17, 2011 06:23

Bom dia,
Realmente foi uma sexta feira, como fazer os calculos para chegar ?


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Seg Out 17, 2011 07:18

Para encontrar o dia que caiu 15 de novembro de 1889 você deve em primeiro lugar encontrar a quantidade de anos bissextos que houve entre 1889 à 2011, após isso dá uma verificada no ano 1900, ele não é bissexto, pois a regra diz que ano que é múltiplo de 100 e não é múltiplo de 400 não é bissexto.
Depois calcule quantos dias dão de 1889 até 2011, basta pegar a quantidade de anos e multiplicar por 365 + 1 dia a cada ano bissexto (esse resultado você calculou quando encontrou a quantidade de anos bissextos)
Pegue o resultado e divida por 7 e vai obter o resto.
obtendo o resto e partindo da data que pegou como referência conte a quantidade do resto para trás da semana.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Seg Out 17, 2011 07:40

Bom dia,
Será que é assim:
2011 a 1889 são 121 anos sendo , 30 anos bissextos e 91 anos normais então temos:
30x366 = 10.980 dias
91x365 = 33.215 dias
incluindo 15/11/1889 - 31/12/1889 47 dias
33215+10980+47 = 44242 dias

44242:7 = 6320 + resto 2

è assim, nâo sei mais sair disso.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Seg Out 17, 2011 10:24

que tal descontar 1 dia do seu resultado, pois 1900 não é bissexto, ai seria 44241 e quando fizer a divisão o resto será 1
como etá pegando base 1/01/2011, se reparar bem 01/01/2011 sempre cai no mesmo dia que 15/01/2011, sendo assim se 01/01/2011 caiu em um sábado volte 1 dia para trás, ou seja, você está no sábado e voltando 1 dia voltará para sexta.então 15/11/1889 cairá em uma sexta


Assunto: Proporcionalidade
Autor: Kiwamen2903 - Seg Out 17, 2011 19:43

Boa noite, sou novo por aqui, espero poder aprender e ajudar quando possível! A minha resposta ficou assim:


De 1889 até 2001 temos 29 anos bissextos a começar por 1892 (primeiro múltiplo de 4 após 1889) e terminar por 2008 (último múltiplo de 4 antes de 2011). Vale lembrar que o ano 1900 não é bissexto, uma vez que é múltiplo de 100 mas não é múltiplo de 400.

De um ano normal para outro, se considerarmos a mesma data, eles caem em dias consecutivos da semana. Por exemplo 01/01/2011 – sábado, e 01/01/2010 – sexta.

De um ano bissexto para outro, se considerarmos a mesma data, um cai dois dias da semana depois do outro. Por exemplo 01/01/2008 (ano bissexto) – Terça – feira, e 01/01/09 – Quinta-feira.

Sendo assim, se contarmos um dia da semana de diferença para cada um dos 01/01 dos 122 anos que separam 1889 e 2011 mais os 29 dias a mais referentes aos anos bissextos entre 1889 e 2011, concluímos que são 151 dias da semana de diferença, o que na realidade nos trás: 151:7= 21x7+4, isto é, são 4 dias da semana de diferença. Logo, como 15/11/2011 cairá em uma terça-feira, 15/11/1889 caiu em uma sexta-feira.