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[Desafio] Cálculo

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  1. Não envie somente enunciados de problemas, informe suas tentativas e dificuldades!

    Queremos que a "ajuda" represente um trabalho interativo, pois saber especificar a dúvida exige estudo.

    Serão desconsiderados tópicos apenas com enunciados, sem interação. Nosso objetivo não é resolver listas de exercícios;



  2. Para não haver má interpretação em suas postagens, especialmente na precedência das operações, utilize LaTeX, podendo ser a partir do botão "editor de fórmulas".


    Bons estudos!

[Desafio] Cálculo

Mensagempor Pessoa Estranha » Dom Nov 17, 2013 21:59

Mostre que:

\int_{}^{}\frac{dx}{\sqrt[]{{x}^{2}+{a}^{2}}} = ln(x + \sqrt[]{{x}^{2} + {a}^{2}}) + C
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Re: [Desafio] Cálculo

Mensagempor e8group » Dom Nov 17, 2013 23:06

Dica :

Observando identidade sec^2 \theta  = tan^2\theta + 1 vemos que é possível realizar uma substituição trigonométrica x = |a| tan \theta (*)(desde que a \neq 0 ) de modo obtermos outra integral mais simples . Se considerarmos x\geq 0 , podemos sempre escrever x sob a forma (*) para algum \theta em [0,\pi/2) . Segue-se que

\sqrt{x^2 + a^2} = \sqrt{(|a|tan\theta )^2 + a^2} = \sqrt{a^2(tan^2\theta + 1) } = |a| \sqrt{sec^2\theta} = |a| sec\theta (pois cos(\theta) > 0 )

e derivando-se a expressão (*) , |a| sec^2\theta d \theta = dx . Após esta substituição ,veja como a integral ficou mais simples de ser calculada :

\int sec\theta d\theta

Agora tente concluir .
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Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: Alucard014 - Dom Ago 01, 2010 18:22

(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.


Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.