Sequência recursiva da média de dois números

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Sequência recursiva da média de dois números

Mensagempor ant_dii » Qua Jun 29, 2011 20:40

Pessoal, Boa noite,
Comecei aqui hoje, porque tenho uma questão que ta me complicando a vida. já fazem três dias batalhando e tentando e me parece ser bem simples mais ainda não encachei a uma idéia, aliás uma boa me ocorreu mas ainda não ajudou.
A questão é a seguinte:

A sequência \{a_n\} é definida recursivamente pela equação a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n-2}}{2} para n\geq 3, onde a_1 e a_2 podem ser quaisquer numeros reais. Encontre \lim_{n \rightarrow +\infty}a_n em termos de a_1 e a_2.

Em já tentei fazendo o seguinte (a fórmula que me foi mais útil até o momento mas daí em diante não consegui mais nada):

Dado que a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n-2}}{2} e a_{n+1}=\frac{a_{n}+a_{n-1}}{2}, pode-se fazer o seguinte:

a_{n+1}-a_{n}=\frac{a_{n}+a_{n-1}}{2} - \frac{a_{n-1}+a_{n-2}}{2}= \frac{a_{n}-a_{n-2}}{2}.

Usando isso, temos que
a_4-a_3=\frac{a_3-a_1}{2}=\frac{\frac{a_2+a_1}{2}-a_1}{2}=\frac{a_2 - a_1}{4}

a_5-a_4=\frac{a_4-a_2}{2}=\frac{\frac{a_3+a_2}{2}-a_2}{2}=\frac{\frac{a_2+a_1}{2}-a_2}{4}=\frac{a_1 - a_2}{8}
\vdots
a_{n+1}-a_{n}=(-1)^{n-1}\frac{(a_2-a_1)}{2^{n-1}}


Foi onde parei. Antes deste resultado fiz muitas outras tentativas, mas o que me pareceu levar a alguma coisa é este resultado. Pórem, não sei o que fazer agora para chegar ao limite de a_n pedido.
Só os loucos sabem...
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Autor: my2009 - Qua Dez 08, 2010 21:48

Uma função polinomial f do 1° grau é tal que f(3) = 6 e f(4) = 8.Portanto o valor de f(10) é :

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Uma função de 1º grau é dada por y=ax+b.
Temos que para x=3, y=6 e para x=4, y=8.
\begin{cases}6=3a+b\\8=4a+b\end{cases}
Ache o valor de a e b, monte a função e substitua x por 10.

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my2009 escreveu:Uma função polinomial f do 1° grau é tal que f(3) = 6 e f(4) = 8.Portanto o valor de f(10) é :



f(x)= 2.x
f(3)=2.3=6
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f(10)=2.10=20

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isso ai foi uma questao da FGV?

haahua to precisando trocar de faculdade.

Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: Thiago 86 - Qua Mar 06, 2013 23:11

Saudações! :-D
ví suaquestão e tentei resolver, depois você conta-me se eu acertei.
Uma função de 1º grau é dada por y=3a+b

Resposta :
3a+b=6 x(4)
4a+b=8 x(-3)
12a+4b=24
-12a-3b=-24
b=0
substituindo b na 1°, ttenho que: 3a+b=6
3a+0=6
a=2
substituindo em: y=3a+b
y=30+0
y=30
:coffee:

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