Sequência recursiva da média de dois números

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Sequência recursiva da média de dois números

Mensagempor ant_dii » Qua Jun 29, 2011 20:40

Pessoal, Boa noite,
Comecei aqui hoje, porque tenho uma questão que ta me complicando a vida. já fazem três dias batalhando e tentando e me parece ser bem simples mais ainda não encachei a uma idéia, aliás uma boa me ocorreu mas ainda não ajudou.
A questão é a seguinte:

A sequência \{a_n\} é definida recursivamente pela equação a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n-2}}{2} para n\geq 3, onde a_1 e a_2 podem ser quaisquer numeros reais. Encontre \lim_{n \rightarrow +\infty}a_n em termos de a_1 e a_2.

Em já tentei fazendo o seguinte (a fórmula que me foi mais útil até o momento mas daí em diante não consegui mais nada):

Dado que a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n-2}}{2} e a_{n+1}=\frac{a_{n}+a_{n-1}}{2}, pode-se fazer o seguinte:

a_{n+1}-a_{n}=\frac{a_{n}+a_{n-1}}{2} - \frac{a_{n-1}+a_{n-2}}{2}= \frac{a_{n}-a_{n-2}}{2}.

Usando isso, temos que
a_4-a_3=\frac{a_3-a_1}{2}=\frac{\frac{a_2+a_1}{2}-a_1}{2}=\frac{a_2 - a_1}{4}

a_5-a_4=\frac{a_4-a_2}{2}=\frac{\frac{a_3+a_2}{2}-a_2}{2}=\frac{\frac{a_2+a_1}{2}-a_2}{4}=\frac{a_1 - a_2}{8}
\vdots
a_{n+1}-a_{n}=(-1)^{n-1}\frac{(a_2-a_1)}{2^{n-1}}


Foi onde parei. Antes deste resultado fiz muitas outras tentativas, mas o que me pareceu levar a alguma coisa é este resultado. Pórem, não sei o que fazer agora para chegar ao limite de a_n pedido.
Só os loucos sabem...
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.

Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:

Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?


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