Olá Rodrigo, boa noite, seja bem-vindo!
Este problema é bem interessante!
Em meu curso de graduação não cheguei a ver séries de Fourier, pois o assunto estava fora do escopo. Em Análise e Cálculo II, o mais próximo que cheguei foram as séries de Taylor e Maclaurin.
Entretanto, estudei um pouco sobre o assunto para tentar ajudá-lo.
1ª PARTE - CURIOSIDADEEm primeiro lugar, talvez você já saiba, mas quero comentar uma curiosidade histórica que li.
Ver
bibliografia:
5 - EVES, Howard. Introdução à história da matemática. Tradução: Hygino H. Domingues. Campinas, SP: Editora da UNICAMP, 2004.
Esta expressão,
também é chamada de série de Euler, pois conforme registros históricos, em carta de 1673, Oldenburg consultou Leibniz sobre a soma desta série:
Leibniz não soube responder e, em 1689, Jakob Bernoulli confessou que também não sabia a resposta.
Na época, Euler, a partir de observações sobre polinômios finitos, assumiu que suas propriedades também valiam para séries infinitas.
Partindo desta série de Taylor (ou de Maclaurin - um caso particular da série de Taylor),
o argumento de Euler iniciou-se dividindo ambos os membros por
:
Como as raízes de
ocorrem exatamente quando
, com
, ele escreveu a série infinita como um produto de fatores lineares dados por suas raízes, assim como fazemos com polinômios finitos, veja:
Se nós fizéssemos a distributiva deste produto, apenas pensando nos termos
, perceberíamos que o coeficiente de
em
é:
Mas, na série infinita original, na expansão de
, o coeficiente de
é
. Então, estes coeficientes são iguais:
Daqui, multiplicando ambos os membros por
, obtemos o resultado procurado da soma:
Este problema ficou conhecido como "problema da Basiléia" (Basel problem).
Basiléia é uma cidade suíça, onde nasceram Euler e a família Bernoulli.
2ª PARTE - O SEU PROBLEMARodrigo, o assunto comentado anteriormente sobre Euler pode ser facilmente encontrado na internet, além da bibliografia e outros livros.
Você viu que partindo da série de Taylor também podemos mostrar o resultado da soma.
De qualquer forma, o seu problema sugere o uso de uma série de Fourier.
Um exercício também interessante seria estudar como obter aquela expressão da série dada, eis a teoria sobre séries de Fourier: obter os coeficientes de Fourier, analisar funções pares e ímpares, integrar etc.
Adicionalmente, uma visão resumida sobre a "idéia" deste assunto é: reescrever funções periódicas através da soma infinita de senos e cossenos! Esta soma também pode ser escrita utilizando exponenciais de números complexos, considerando a famosa fórmula de Euler:
.
Enfim, voltando para o seu problema, eu quis pensar que aquele dado da séria de Fourier tinha que facilitar e não dificultar!
Um detalhe: vale colocar parênteses aqui para evitar confusão:
A série de Fourier de g(x) é:
O
primeiro passo é destacar que o que queremos mostrar também pode ser escrito assim (como escrito no final da primeira parte):
Apenas estamos reescrevendo a soma dos termos da série através do símbolo somatório.
Pois bem, o
segundo passo é "enxergar" a função periódica g(x).
Caso não visualize mentalmente, faça o gráfico no papel!
Apenas destacando o domínio
, temos um trecho de uma parábola côncava para baixo, com raízes em
e
. Este trecho da função se repete periodicamente em toda a extensão do domínio!
Esta etapa é importante porque vemos que a função é par. E entendemos o motivo de não haver o coeficiente b de Fourier na expressão dada (pois a função seno é impar, o produto resultante também, logo a integral é nula).
Nesta etapa analisando g, constatamos que
(vamos utilizar este dado depois).
Como
terceiro passo, precisamos comparar o dado que temos com o que queremos mostrar.
Olhando este somatório, percebemos uma série alternada:
Veja em destaque, sem o fator cosseno:
Pensando: a soma que buscamos é bem parecida, exceto pela alternância!
O fator cosseno está lá para nos ajudar, desde que usemos o dado implícito
, pois quando
,
também vai alternar entre
e
.
Vamos reescrever g, quando
:
Agora, considerando o fator do cosseno alternando entre
e
, vamos observar como está o somatório:
Todos os termos ficaram negativos! Então, vamos colocar
em evidência:
Veja o que temos: a nossa soma apareceu!
Agora, basta substituir em
:
Como
, temos:
Agora basta você isolar o somatório e terá mostrado que o resultado da soma é
.
Espero ter ajudado.
Bons estudos!