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Dúvida em exercício de PAG!

Dúvida em exercício de PAG!

Mensagempor Fernanda » Qui Jul 03, 2008 18:20

Eu gostaria de saber como faz o exercício de PAG a seguir!

''Considere uma sequencia de primas regulares tais que suas bases possuam areas formando uma PG de razao 1/2 e suas alturas uma PA de razao 1. Calcule a soma dos volumes dos 20 primeiros prismas, sabendo que o primeiro é:''
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Re: Dúvida em exercício de PAG!

Mensagempor Neperiano » Qui Jul 03, 2008 18:36

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7: 25
de tres em tres
Editado pela última vez por Neperiano em Qui Jul 03, 2008 18:39, em um total de 1 vez.
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Re: Dúvida em exercício de PAG!

Mensagempor Neperiano » Qui Jul 03, 2008 18:37

dai agora eh soh soma os 20.
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Re: Dúvida em exercício de PAG!

Mensagempor Fernanda » Qui Jul 03, 2008 18:38

mas o volume de um prisma é calculado por 'area da base*altura', nao somando os dois como voce fez...
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Re: Dúvida em exercício de PAG!

Mensagempor Neperiano » Qui Jul 03, 2008 18:40

vou refazer espere

1: 12
2: 18
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Re: Dúvida em exercício de PAG!

Mensagempor Fernanda » Qui Jul 03, 2008 18:41

tranquilo...
mas pq 18 se a razao da PG é 1/2?
nao deveria ser 8?
Editado pela última vez por Fernanda em Qui Jul 03, 2008 21:35, em um total de 1 vez.
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Re: Dúvida em exercício de PAG!

Mensagempor Neperiano » Qui Jul 03, 2008 20:48

Cara eu não sei calcular isso porque não aprendi mas, o que tu tenque calcular eh o seguinte:
Calcula o primeiro prisma. Depois, a altura do primeiro prisma tu faz mais 1.
E a area do primeiro prisma tu faz vezes 1/2.
Dai tu soma essas duas e vai ser o valor do segundo prisma.
Para o terceiro:

Pega a area do segundo prisma e faz vezes 1/2.
Pegue a altura do segundo prisma e faz mais 1.

E assim por diante
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Re: Dúvida em exercício de PAG!

Mensagempor Molina » Qui Jul 03, 2008 20:56

Fernanda escreveu:Eu gostaria de saber como faz o exercício de PAG a seguir!

''Considere uma sequencia de primas regulares tais que suas bases possuam areas formando uma PG de razao 1/2 e suas alturas uma PA de razao 1. Calcule a soma dos volumes dos 20 primeiros prismas, sabendo que o primeiro é:''


Note que a razão da PG é > 0 e < 1, ou seja, a base dos próximos prismas estão sempre "diminuindo" (sendo dividido por 2). A razão da PA é positiva, logo, está sempre "aumentando" uma unidade na altura.

Como o primeiro prisma tem as dimensões: 2 * 2 * 3
Área da base: 4
Altura: 3
Área do Prisma 1 = 4 * 3 = 12

O segundo prisma tem dimensões formados pelas informações do enunciado.
Área da base: [ÁREADABASE1] * 1/2 = 4 * 1/2 = 2
Altura: [ALTURA1] + 1 = 3 + 1 = 4
Área do Prisma 2 = 2 * 4 = 8

.
.
.
e assim sucessivamente.
acredito que vai ter uma sequencia lógica entre os primeiros que vai ser identificado e nao seja necessário fazer todos esses procedimentos que foram feitos.

espero que seja isso ;)

bom estudo!
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Re: Dúvida em exercício de PAG!

Mensagempor Fernanda » Qui Jul 03, 2008 21:34

molina escreveu:
Fernanda escreveu:Eu gostaria de saber como faz o exercício de PAG a seguir!

''Considere uma sequencia de primas regulares tais que suas bases possuam areas formando uma PG de razao 1/2 e suas alturas uma PA de razao 1. Calcule a soma dos volumes dos 20 primeiros prismas, sabendo que o primeiro é:''


Note que a razão da PG é > 0 e < 1, ou seja, a base dos próximos prismas estão sempre "diminuindo" (sendo dividido por 2). A razão da PA é positiva, logo, está sempre "aumentando" uma unidade na altura.

Como o primeiro prisma tem as dimensões: 2 * 2 * 3
Área da base: 4
Altura: 3
Área do Prisma 1 = 4 * 3 = 12

O segundo prisma tem dimensões formados pelas informações do enunciado.
Área da base: [ÁREADABASE1] * 1/2 = 4 * 1/2 = 2
Altura: [ALTURA1] + 1 = 3 + 1 = 4
Área do Prisma 2 = 2 * 4 = 8

.
.
.
e assim sucessivamente.
acredito que vai ter uma sequencia lógica entre os primeiros que vai ser identificado e nao seja necessário fazer todos esses procedimentos que foram feitos.

espero que seja isso ;)

bom estudo!

até ai eu consegui fazer, mas eu nao queria calcular um por um, entende, pois até chegar no 20º prisma vai ter (1/2) elevado a quase 20, entao fica muito dificil; alem do mais, tem um jeito mais facil pra calcular isso, com uso de formulas e tal, só que o problema é que eu nao sei como faz por esse metodo.
Enfim, obrigada molina!
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Re: Dúvida em exercício de PAG!

Mensagempor Neperiano » Qui Jul 03, 2008 22:20

esqueçe
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Re: Dúvida em exercício de PAG!

Mensagempor Neperiano » Qui Jul 03, 2008 22:29

Essa eh a formula.
n
sn=a1.(q -1)
q - 1

Sn= soma dos termos
A1= primeiro termo
q= razão( divide a2 por a1) 8 dividido por 12 = o,6667
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Re: Dúvida em exercício de PAG!

Mensagempor admin » Sex Jul 04, 2008 05:01

Olá Fernanda, seja bem-vinda!
Olá Maligno e Molina!

Permitam meus comentários na discussão.
Como o Maligno escreveu, bastaria calcular os volumes, um a um, e somar.
Mas, com razão, a Fernanda não quer ter este trabalho todo, fazendo as contas somando base X altura.
O Molina bem sugere que deve haver algo a mais na seqüência!

Pois bem, em primeiro lugar devo dizer que esta preocupação, em geral excessiva, com "fórmulas" é prejudicial no entendimento dos problemas.
Em muitos casos aplicamos sim fórmulas, mas antes precisamos entender a resolução. Muitas vezes, em vários exercícios, percebo que os alunos "sabem" alguma fórmula relacionada ao assunto, mas não sabem resolver o problema!
Neste exemplo, é evidente que há uma progressão aritmética e uma geométrica relacionadas. Mas também é fácil perceber que não basta saber as "fórmulas" da soma de termos de cada uma. Utilizaremos as tais fórmulas para facilitar? Talvez, vamos ver! Mas, somente após entendermos como esta seqüência se comporta. Vamos discutir esta idéia!

Embora estejamos procurando a soma dos volumes, no momento não são importantes os "resultados" dos volumes, mas sim, as operações que estão sendo feitas.
Para visualizarmos, vamos considerar alguns termos - os volumes:

V_1 = 4 \cdot 3

Como eu disse, não nos interessa aqui que V_1 é igual a 12.
Vamos ao próximo termo!

V_2 = 4\cdot \frac12 \cdot (3 + 1)

Mais um:
V_3 = 4 \cdot \frac12 \cdot \frac12 \cdot (3+1+1)

Outro:
V_4 = 4 \cdot \frac12 \cdot \frac12 \cdot \frac12 \cdot (3+1+1+1)

E outro:
V_5 = 4 \cdot \frac12 \cdot \frac12 \cdot \frac12  \cdot \frac12 \cdot (3+1+1+1+1)

Acho que já podemos "generalizar" o volume, ou seja, encontrar o termo geral, vejam:

V_5 = 4 \cdot \underbrace{\frac12 \cdot \frac12 \cdot \frac12 \cdot \frac12}_{\text{4 vezes}} \cdot (3+\underbrace{1+1+1+1}_{\text{4 vezes}})

Ou seja:

V_n = 4 \cdot \left( \frac12  \right)^{n-1} \cdot (3+n-1})


Simplificando ainda mais o termo geral, temos:

V_n = \frac{4}{2^{n-1}} \cdot (n+2})

Este resultado deve ser provado por indução, mas acredito que não seja o foco deste exercício.


Mais simplificações:

V_n = \frac{4(n+2)}{2^{n-1}}

V_n = \frac{4(n+2) \div 4}{\left(2^{n-1}\right) \div 2^2}

V_n = \frac{n+2}{2^{n-1-2}}

V_n = \frac{n+2}{2^{n-3}}

Assim, o termo geral para o volume está bem simplificado.
Como estamos interessados na soma, chamemos de S_{20} e vamos representá-la através do símbolo somatório:

S_{20} = \sum_{n=1}^{20} V_n = V_1 + V_2 + \cdots + V_{20}

S_{20} = \frac{3}{2^{-2}} + \frac{4}{2^{-1}} + \frac{5}{2^{0}} + \frac{6}{2^{1}} + \frac{7}{2^{2}} + \cdots + \frac{22}{2^{17}}

Reparem que olhando para os numeradores e denominadores, isoladamente, temos uma PA e uma PG, respectivamente.
Mas, por ser uma soma de frações com denominadores diferentes, não podemos somar diretamente os numeradores, ou os denominadores, então, não podemos utilizar as tais fórmulas de soma de termos, exceto se algo ainda esteja ausente nesta minha tentativa.
Pelo menos assim fica mais "prático" obter a soma dos 20 volumes:

S_{20} = 3 \cdot 4 + 4\cdot 2 + \frac{5}{1} + \frac{6}{2} + \frac{7}{4} + \frac{8}{8} + \frac{9}{16} +\cdots + \frac{22}{2^{17}}

S_{20} = 12 + 8 + 5 + 3 + \frac74 + 1 + \frac{9}{16} + \cdots + \frac{22}{2^{17}}

Reparem que os volumes ficam cada vez menores, pois há um aumento exponencial dos denominadores.
Pensando assim, já poderíamos obter um volume bem aproximado, sem somarmos todos os 20 termos da seqüência, apenas somando alguns iniciais.

Mas, vejamos agora os valores obtidos de forma prática com o termo geral:

S_{1} = 12

S_{2} = 12+8 = 20

S_{3} = 20+5 = 25

S_{4} = 25+3 = 28

Como temos potências de 2, nesta resolução seria conveniente utilizar uma calculadora científica, pois os denominadores ficam maiores.

S_{5} = 28 + \frac74 = 29,75

S_{6} = 29,75 + 1 = 30,75

S_{7} = 30,75 + \frac{9}{16} = 31,3125

S_{8} = 31,3125 + \frac{10}{32} = 31,625

S_{9} = 31,625 + \frac{11}{64} = 31,796875

S_{10} = 31,796875 + \frac{12}{128} = 31,890625

Vejam que este volume que estamos somando é bem pequeno e a soma já pouco aumenta.
Ao fazer na calculadora, é mais prático utilizar em cada soma o valor anterior retornado:

S_{11} = S_{10} + \frac{13}{256}

S_{12} = S_{11} + \frac{14}{512}

S_{13} = S_{12} + \frac{15}{1024}

S_{14} = S_{13} + \frac{16}{2048}

S_{15} = S_{14} + \frac{17}{4096}

S_{16} = S_{15} + \frac{18}{8192}

S_{17} = S_{16} + \frac{19}{2^{14}}

S_{18} = S_{17} + \frac{20}{2^{15}}

S_{19} = S_{18} + \frac{21}{2^{16}}

S_{20} = S_{19} + \frac{22}{2^{17}} \approx 32

Dizemos que a soma dos volumes "converge" para 32.

Bons estudos para todos!
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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D