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Dúvida em exercício de PAG!

Dúvida em exercício de PAG!

Mensagempor Fernanda » Qui Jul 03, 2008 18:20

Eu gostaria de saber como faz o exercício de PAG a seguir!

''Considere uma sequencia de primas regulares tais que suas bases possuam areas formando uma PG de razao 1/2 e suas alturas uma PA de razao 1. Calcule a soma dos volumes dos 20 primeiros prismas, sabendo que o primeiro é:''
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Re: Dúvida em exercício de PAG!

Mensagempor Neperiano » Qui Jul 03, 2008 18:36

1: 7
2: 10
3: 13
4: 16
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7: 25
de tres em tres
Editado pela última vez por Neperiano em Qui Jul 03, 2008 18:39, em um total de 1 vez.
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Re: Dúvida em exercício de PAG!

Mensagempor Neperiano » Qui Jul 03, 2008 18:37

dai agora eh soh soma os 20.
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Re: Dúvida em exercício de PAG!

Mensagempor Fernanda » Qui Jul 03, 2008 18:38

mas o volume de um prisma é calculado por 'area da base*altura', nao somando os dois como voce fez...
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Re: Dúvida em exercício de PAG!

Mensagempor Neperiano » Qui Jul 03, 2008 18:40

vou refazer espere

1: 12
2: 18
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Re: Dúvida em exercício de PAG!

Mensagempor Fernanda » Qui Jul 03, 2008 18:41

tranquilo...
mas pq 18 se a razao da PG é 1/2?
nao deveria ser 8?
Editado pela última vez por Fernanda em Qui Jul 03, 2008 21:35, em um total de 1 vez.
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Re: Dúvida em exercício de PAG!

Mensagempor Neperiano » Qui Jul 03, 2008 20:48

Cara eu não sei calcular isso porque não aprendi mas, o que tu tenque calcular eh o seguinte:
Calcula o primeiro prisma. Depois, a altura do primeiro prisma tu faz mais 1.
E a area do primeiro prisma tu faz vezes 1/2.
Dai tu soma essas duas e vai ser o valor do segundo prisma.
Para o terceiro:

Pega a area do segundo prisma e faz vezes 1/2.
Pegue a altura do segundo prisma e faz mais 1.

E assim por diante
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Re: Dúvida em exercício de PAG!

Mensagempor Molina » Qui Jul 03, 2008 20:56

Fernanda escreveu:Eu gostaria de saber como faz o exercício de PAG a seguir!

''Considere uma sequencia de primas regulares tais que suas bases possuam areas formando uma PG de razao 1/2 e suas alturas uma PA de razao 1. Calcule a soma dos volumes dos 20 primeiros prismas, sabendo que o primeiro é:''


Note que a razão da PG é > 0 e < 1, ou seja, a base dos próximos prismas estão sempre "diminuindo" (sendo dividido por 2). A razão da PA é positiva, logo, está sempre "aumentando" uma unidade na altura.

Como o primeiro prisma tem as dimensões: 2 * 2 * 3
Área da base: 4
Altura: 3
Área do Prisma 1 = 4 * 3 = 12

O segundo prisma tem dimensões formados pelas informações do enunciado.
Área da base: [ÁREADABASE1] * 1/2 = 4 * 1/2 = 2
Altura: [ALTURA1] + 1 = 3 + 1 = 4
Área do Prisma 2 = 2 * 4 = 8

.
.
.
e assim sucessivamente.
acredito que vai ter uma sequencia lógica entre os primeiros que vai ser identificado e nao seja necessário fazer todos esses procedimentos que foram feitos.

espero que seja isso ;)

bom estudo!
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Re: Dúvida em exercício de PAG!

Mensagempor Fernanda » Qui Jul 03, 2008 21:34

molina escreveu:
Fernanda escreveu:Eu gostaria de saber como faz o exercício de PAG a seguir!

''Considere uma sequencia de primas regulares tais que suas bases possuam areas formando uma PG de razao 1/2 e suas alturas uma PA de razao 1. Calcule a soma dos volumes dos 20 primeiros prismas, sabendo que o primeiro é:''


Note que a razão da PG é > 0 e < 1, ou seja, a base dos próximos prismas estão sempre "diminuindo" (sendo dividido por 2). A razão da PA é positiva, logo, está sempre "aumentando" uma unidade na altura.

Como o primeiro prisma tem as dimensões: 2 * 2 * 3
Área da base: 4
Altura: 3
Área do Prisma 1 = 4 * 3 = 12

O segundo prisma tem dimensões formados pelas informações do enunciado.
Área da base: [ÁREADABASE1] * 1/2 = 4 * 1/2 = 2
Altura: [ALTURA1] + 1 = 3 + 1 = 4
Área do Prisma 2 = 2 * 4 = 8

.
.
.
e assim sucessivamente.
acredito que vai ter uma sequencia lógica entre os primeiros que vai ser identificado e nao seja necessário fazer todos esses procedimentos que foram feitos.

espero que seja isso ;)

bom estudo!

até ai eu consegui fazer, mas eu nao queria calcular um por um, entende, pois até chegar no 20º prisma vai ter (1/2) elevado a quase 20, entao fica muito dificil; alem do mais, tem um jeito mais facil pra calcular isso, com uso de formulas e tal, só que o problema é que eu nao sei como faz por esse metodo.
Enfim, obrigada molina!
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Re: Dúvida em exercício de PAG!

Mensagempor Neperiano » Qui Jul 03, 2008 22:20

esqueçe
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Re: Dúvida em exercício de PAG!

Mensagempor Neperiano » Qui Jul 03, 2008 22:29

Essa eh a formula.
n
sn=a1.(q -1)
q - 1

Sn= soma dos termos
A1= primeiro termo
q= razão( divide a2 por a1) 8 dividido por 12 = o,6667
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Re: Dúvida em exercício de PAG!

Mensagempor admin » Sex Jul 04, 2008 05:01

Olá Fernanda, seja bem-vinda!
Olá Maligno e Molina!

Permitam meus comentários na discussão.
Como o Maligno escreveu, bastaria calcular os volumes, um a um, e somar.
Mas, com razão, a Fernanda não quer ter este trabalho todo, fazendo as contas somando base X altura.
O Molina bem sugere que deve haver algo a mais na seqüência!

Pois bem, em primeiro lugar devo dizer que esta preocupação, em geral excessiva, com "fórmulas" é prejudicial no entendimento dos problemas.
Em muitos casos aplicamos sim fórmulas, mas antes precisamos entender a resolução. Muitas vezes, em vários exercícios, percebo que os alunos "sabem" alguma fórmula relacionada ao assunto, mas não sabem resolver o problema!
Neste exemplo, é evidente que há uma progressão aritmética e uma geométrica relacionadas. Mas também é fácil perceber que não basta saber as "fórmulas" da soma de termos de cada uma. Utilizaremos as tais fórmulas para facilitar? Talvez, vamos ver! Mas, somente após entendermos como esta seqüência se comporta. Vamos discutir esta idéia!

Embora estejamos procurando a soma dos volumes, no momento não são importantes os "resultados" dos volumes, mas sim, as operações que estão sendo feitas.
Para visualizarmos, vamos considerar alguns termos - os volumes:

V_1 = 4 \cdot 3

Como eu disse, não nos interessa aqui que V_1 é igual a 12.
Vamos ao próximo termo!

V_2 = 4\cdot \frac12 \cdot (3 + 1)

Mais um:
V_3 = 4 \cdot \frac12 \cdot \frac12 \cdot (3+1+1)

Outro:
V_4 = 4 \cdot \frac12 \cdot \frac12 \cdot \frac12 \cdot (3+1+1+1)

E outro:
V_5 = 4 \cdot \frac12 \cdot \frac12 \cdot \frac12  \cdot \frac12 \cdot (3+1+1+1+1)

Acho que já podemos "generalizar" o volume, ou seja, encontrar o termo geral, vejam:

V_5 = 4 \cdot \underbrace{\frac12 \cdot \frac12 \cdot \frac12 \cdot \frac12}_{\text{4 vezes}} \cdot (3+\underbrace{1+1+1+1}_{\text{4 vezes}})

Ou seja:

V_n = 4 \cdot \left( \frac12  \right)^{n-1} \cdot (3+n-1})


Simplificando ainda mais o termo geral, temos:

V_n = \frac{4}{2^{n-1}} \cdot (n+2})

Este resultado deve ser provado por indução, mas acredito que não seja o foco deste exercício.


Mais simplificações:

V_n = \frac{4(n+2)}{2^{n-1}}

V_n = \frac{4(n+2) \div 4}{\left(2^{n-1}\right) \div 2^2}

V_n = \frac{n+2}{2^{n-1-2}}

V_n = \frac{n+2}{2^{n-3}}

Assim, o termo geral para o volume está bem simplificado.
Como estamos interessados na soma, chamemos de S_{20} e vamos representá-la através do símbolo somatório:

S_{20} = \sum_{n=1}^{20} V_n = V_1 + V_2 + \cdots + V_{20}

S_{20} = \frac{3}{2^{-2}} + \frac{4}{2^{-1}} + \frac{5}{2^{0}} + \frac{6}{2^{1}} + \frac{7}{2^{2}} + \cdots + \frac{22}{2^{17}}

Reparem que olhando para os numeradores e denominadores, isoladamente, temos uma PA e uma PG, respectivamente.
Mas, por ser uma soma de frações com denominadores diferentes, não podemos somar diretamente os numeradores, ou os denominadores, então, não podemos utilizar as tais fórmulas de soma de termos, exceto se algo ainda esteja ausente nesta minha tentativa.
Pelo menos assim fica mais "prático" obter a soma dos 20 volumes:

S_{20} = 3 \cdot 4 + 4\cdot 2 + \frac{5}{1} + \frac{6}{2} + \frac{7}{4} + \frac{8}{8} + \frac{9}{16} +\cdots + \frac{22}{2^{17}}

S_{20} = 12 + 8 + 5 + 3 + \frac74 + 1 + \frac{9}{16} + \cdots + \frac{22}{2^{17}}

Reparem que os volumes ficam cada vez menores, pois há um aumento exponencial dos denominadores.
Pensando assim, já poderíamos obter um volume bem aproximado, sem somarmos todos os 20 termos da seqüência, apenas somando alguns iniciais.

Mas, vejamos agora os valores obtidos de forma prática com o termo geral:

S_{1} = 12

S_{2} = 12+8 = 20

S_{3} = 20+5 = 25

S_{4} = 25+3 = 28

Como temos potências de 2, nesta resolução seria conveniente utilizar uma calculadora científica, pois os denominadores ficam maiores.

S_{5} = 28 + \frac74 = 29,75

S_{6} = 29,75 + 1 = 30,75

S_{7} = 30,75 + \frac{9}{16} = 31,3125

S_{8} = 31,3125 + \frac{10}{32} = 31,625

S_{9} = 31,625 + \frac{11}{64} = 31,796875

S_{10} = 31,796875 + \frac{12}{128} = 31,890625

Vejam que este volume que estamos somando é bem pequeno e a soma já pouco aumenta.
Ao fazer na calculadora, é mais prático utilizar em cada soma o valor anterior retornado:

S_{11} = S_{10} + \frac{13}{256}

S_{12} = S_{11} + \frac{14}{512}

S_{13} = S_{12} + \frac{15}{1024}

S_{14} = S_{13} + \frac{16}{2048}

S_{15} = S_{14} + \frac{17}{4096}

S_{16} = S_{15} + \frac{18}{8192}

S_{17} = S_{16} + \frac{19}{2^{14}}

S_{18} = S_{17} + \frac{20}{2^{15}}

S_{19} = S_{18} + \frac{21}{2^{16}}

S_{20} = S_{19} + \frac{22}{2^{17}} \approx 32

Dizemos que a soma dos volumes "converge" para 32.

Bons estudos para todos!
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Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Qui Out 13, 2011 22:46

Divida o numero 35 em partes diretamente proporcionais a 4, 10 e 14. Em seguida divida o mesmo numero em partes proporcionais a 6, 15 e 21. explique por que os resultados sao iguais.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Sáb Out 15, 2011 10:25

POR GENTILEZA PODEM VERIFICAR SE O MEU RACIOCINIO ESTÁ CERTO?

P1 = K.4 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P1= 5
P2 = K.10 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P2= 12,50
P3 = K.13 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P3= 17,50

P1+P2+P3 = 35
K.4+K.10+K.13 = 35
28 K = 35
K= 1,25


P1 = K.6 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P1= 5
P2 = K.15 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P2 = 12,50
P3 = K.21 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P3 = 17,50
K.6+K.15+K.21 = 35
42K = 35
K= 0,833


4/6 =10/15 =14/21 RAZÃO = 2/3

SERÁ QUE ESTÁ CERTO?
ALGUEM PODE ME AJUDAR A EXPLICAR MELHOR?
OBRIGADA
SILVIA


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Dom Out 16, 2011 00:37

utilize a definição e não se baseie no exercícios resolvidos da redefor, assim você terá mais clareza, mas acredito que sua conclusão esteja correto, pois o motivo de darem o mesmo resultado é pq a razão é a mesma.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: Marcos Roberto - Dom Out 16, 2011 18:24

Silvia:
Acho que o resultado é o mesmo pq as razões dos coeficientes e as razões entre os números são inversamente proporcionais.

Você conseguiu achar o dia em que caiu 15 de novembro de 1889?


Assunto: Proporcionalidade
Autor: deiasp - Dom Out 16, 2011 23:45

Ola pessoal
Tb. estou no redefor
O dia da semana em 15 de novembro de 1889, acredito que foi em uma sexta feira


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Seg Out 17, 2011 06:23

Bom dia,
Realmente foi uma sexta feira, como fazer os calculos para chegar ?


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Seg Out 17, 2011 07:18

Para encontrar o dia que caiu 15 de novembro de 1889 você deve em primeiro lugar encontrar a quantidade de anos bissextos que houve entre 1889 à 2011, após isso dá uma verificada no ano 1900, ele não é bissexto, pois a regra diz que ano que é múltiplo de 100 e não é múltiplo de 400 não é bissexto.
Depois calcule quantos dias dão de 1889 até 2011, basta pegar a quantidade de anos e multiplicar por 365 + 1 dia a cada ano bissexto (esse resultado você calculou quando encontrou a quantidade de anos bissextos)
Pegue o resultado e divida por 7 e vai obter o resto.
obtendo o resto e partindo da data que pegou como referência conte a quantidade do resto para trás da semana.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Seg Out 17, 2011 07:40

Bom dia,
Será que é assim:
2011 a 1889 são 121 anos sendo , 30 anos bissextos e 91 anos normais então temos:
30x366 = 10.980 dias
91x365 = 33.215 dias
incluindo 15/11/1889 - 31/12/1889 47 dias
33215+10980+47 = 44242 dias

44242:7 = 6320 + resto 2

è assim, nâo sei mais sair disso.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Seg Out 17, 2011 10:24

que tal descontar 1 dia do seu resultado, pois 1900 não é bissexto, ai seria 44241 e quando fizer a divisão o resto será 1
como etá pegando base 1/01/2011, se reparar bem 01/01/2011 sempre cai no mesmo dia que 15/01/2011, sendo assim se 01/01/2011 caiu em um sábado volte 1 dia para trás, ou seja, você está no sábado e voltando 1 dia voltará para sexta.então 15/11/1889 cairá em uma sexta


Assunto: Proporcionalidade
Autor: Kiwamen2903 - Seg Out 17, 2011 19:43

Boa noite, sou novo por aqui, espero poder aprender e ajudar quando possível! A minha resposta ficou assim:


De 1889 até 2001 temos 29 anos bissextos a começar por 1892 (primeiro múltiplo de 4 após 1889) e terminar por 2008 (último múltiplo de 4 antes de 2011). Vale lembrar que o ano 1900 não é bissexto, uma vez que é múltiplo de 100 mas não é múltiplo de 400.

De um ano normal para outro, se considerarmos a mesma data, eles caem em dias consecutivos da semana. Por exemplo 01/01/2011 – sábado, e 01/01/2010 – sexta.

De um ano bissexto para outro, se considerarmos a mesma data, um cai dois dias da semana depois do outro. Por exemplo 01/01/2008 (ano bissexto) – Terça – feira, e 01/01/09 – Quinta-feira.

Sendo assim, se contarmos um dia da semana de diferença para cada um dos 01/01 dos 122 anos que separam 1889 e 2011 mais os 29 dias a mais referentes aos anos bissextos entre 1889 e 2011, concluímos que são 151 dias da semana de diferença, o que na realidade nos trás: 151:7= 21x7+4, isto é, são 4 dias da semana de diferença. Logo, como 15/11/2011 cairá em uma terça-feira, 15/11/1889 caiu em uma sexta-feira.