• Anúncio Global
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

Indução Matemática em Sequências

Indução Matemática em Sequências

Mensagempor AntonioFValleneto » Ter Dez 06, 2016 17:11

Esse é um exercício, onde tem que se verificar se são válidas as afirmações e estou com um pouco de dificuldade.

. Mostre utilizando inducao se as seguintes propriedades sao validas para
um n qualquer:
a) 1²+ 3² + 5² + ... + (2n + 1)² = (n + 1)(2n + 1)(2n + 3)/3

Onde n e inteiro e n >= 1
AntonioFValleneto
Novo Usuário
Novo Usuário
 
Mensagens: 3
Registrado em: Ter Jul 05, 2016 20:49
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Computação
Andamento: cursando

Re: Indução Matemática em Sequências

Mensagempor DanielFerreira » Qui Dez 08, 2016 20:02

Olá Antônio, seja bem-vindo!

De acordo com o princípio da indução finita e o enunciado, a igualdade deverá ser verdadeira \mathsf{\forall n \in \mathbb{Z}^{*}_{+}}; ou seja, \mathsf{n = {1, 2, 3, 4,...}}.

Desse modo, a igualdade deverá ser válida para \underline{\mathsf{n = 1}} - elemento mínimo. Vejamos:

\\ \mathsf{1^2 + 3^2 + 5^2 + ... + (2n + 1)^2 = \frac{(n + 1)(2n + 1)(2n + 3)}{3}} \\\\\\ \mathsf{1^2 = \frac{(1 + 1)(2 \cdot 1 + 1)(2 \cdot 1 + 3)}{3}} \\\\\\ \mathsf{1 = \frac{2 \cdot 3 \cdot 5}{3}} \\\\\\ \mathsf{1 = 10}

Ora, como podes notar, isto é um absurdo. Portanto, a afirmativa é falsa!!
"Sabedoria é saber o que fazer;
habilidade é saber como fazer;
virtude é fazer."
(David S. Jordan)
--------------------------------------------------------------------------------
DanielFerreira
Colaborador - em formação
Colaborador - em formação
 
Mensagens: 1665
Registrado em: Qui Jul 23, 2009 21:34
Localização: Engº Pedreira - Rio de Janeiro
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Licenciatura em Matemática - IFRJ
Andamento: cursando

Re: Indução Matemática em Sequências

Mensagempor AntonioFValleneto » Sáb Dez 10, 2016 11:27

Olá Daniel, obrigado,

Esse exercício foi dado como tarefa, falei com o professor, e tinha um erro: não é n >= 1, e sim n > 1, acho então que considera o 1² mas o n inicial é 3², assim se fizer aquele cálculo vai achar S = 10, que é 1² + 3². Se estou correto.

Abraço!
AntonioFValleneto
Novo Usuário
Novo Usuário
 
Mensagens: 3
Registrado em: Ter Jul 05, 2016 20:49
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Computação
Andamento: cursando

Re: Indução Matemática em Sequências

Mensagempor DanielFerreira » Sáb Dez 10, 2016 17:40

Boa tarde, Antônio!

Há um erro na verificação que fiz (1º post).

Observei o seguinte: a lei de formação da soma é dada por \mathsf{(2n + 1)^2}; ora, o primeiro termo é determinado substituindo "n" por zero, veja:

\\ \mathsf{(2n + 1)^2 =} \\ \mathsf{(2 \cdot 0 + 1)^2 =} \\ \mathsf{(0 + 1)^2 =} \\ \mathsf{1^2}

E, se substituíres "n" por zero na expressão do lado direito da igualdade, perceberás que é verdadeira.

Por conseguinte, tomei n = 1. Daí,

\\ \mathsf{(2n + 1)^2 =} \\ \mathsf{(2 + 1)^2 =} \\ \mathsf{3^2}

Uma vez que, não faz mui sentido ter n = 0, aplicamos a seguinte estratégia: passe o termo \mathsf{1^2} para o outro lado da igualdade. Desse modo, poderemos ter \mathsf{n \geq 1}.

Tomemos como hipótese que a igualdade seja verdadeira para \mathsf{n = k}, com \mathsf{k \in \mathbb{Z}^*}; então,

\mathsf{3^2 + 5^2 + 7^2 + ... + (2k + 1)^2 = \frac{(k + 1) \cdot (2k + 1) \cdot (2k + 3)}{3} - 1^2}

Isto posto, sabemos do Princípio da Indução Finita (1ª forma) que a igualdade será válida se \underline{\mathsf{n = k + 1}}. Ou seja,

\mathsf{3^2 + ... + (2k + 1)^2 + (2 \cdot (k + 1) + 1)^2 = \frac{((k + 1) + 1) \cdot (2 \cdot (k + 1) + 1) \cdot (2 \cdot (k + 1) + 3)}{3} - 1}

\mathsf{3^2 + 5^2 + 7^2 + ... + (2k + 1)^2 + (2k + {3})^2 = \frac{(k + 2) \cdot (2k + 3) \cdot (2k + 5)}{3} - {1}}

É a tese de indução!!

Agora, devemos prová-la. Segue, da hipótese que:

\\ \mathsf{\underbrace{\mathsf{3^2 + 5^2 + 7^2 + ... + (2k + 1)^2}}_{hip\acute{o}tese} + (2k + 3)^2 =} \\\\\\ \mathsf{\left [ \frac{(k + 1)(2k + 1)(2k + 3)}{3} - 1 \right ] + (2k + 3)^2 =} \\\\\\ \mathsf{\frac{(k + 1)(2k + 1)(2k + 3)}{3} + (2k + 3)^2 - 1 =} \\\\\\ \mathsf{(2k + 3) \cdot \left [ \frac{(k + 1)(2k + 1)}{3} + (2k + 3) \right ] - 1 =}

\\ \mathsf{(2k + 3) \cdot \left ( \frac{2k^2 + k + 2k + 1 + 6k + 9}{3} \right ) - 1 =} \\\\\\ \mathsf{(2k + 3) \cdot \frac{2k^2 + 9k + 10}{3} - 1 =} \\\\\\ \mathsf{(2k + 3) \cdot \frac{2k^2 + 4k + 5k + 10}{3} - 1 =} \\\\\\ \mathsf{(2k + 3) \cdot \frac{2k(k + 2) + 5(k + 2)}{3} - 1 =}

\\ \mathsf{(2k + 3) \cdot \frac{(k + 2) \cdot \left [ 2k + 5 \right ]}{3} - 1 =} \\\\\\ \mathsf{\frac{(2k + 3) \cdot (k + 2) \cdot \left (2k + 5) \right ]}{3} - 1}

Ufa! Repare que isto (acima) corresponde à tese!

Como queríamos demonstrar!
"Sabedoria é saber o que fazer;
habilidade é saber como fazer;
virtude é fazer."
(David S. Jordan)
--------------------------------------------------------------------------------
DanielFerreira
Colaborador - em formação
Colaborador - em formação
 
Mensagens: 1665
Registrado em: Qui Jul 23, 2009 21:34
Localização: Engº Pedreira - Rio de Janeiro
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Licenciatura em Matemática - IFRJ
Andamento: cursando

Re: Indução Matemática em Sequências

Mensagempor AntonioFValleneto » Seg Dez 12, 2016 09:30

Bom dia Daniel,

Muito interessante, e também muito obrigado, realmente é para um 'ufa' no final.

Abraço Antônio.
AntonioFValleneto
Novo Usuário
Novo Usuário
 
Mensagens: 3
Registrado em: Ter Jul 05, 2016 20:49
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Computação
Andamento: cursando


Voltar para Sequências

 



  • Tópicos relacionados
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

Quem está online

Usuários navegando neste fórum: Nenhum usuário registrado e 4 visitantes

 



Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?