[Sequencias] Calculo do limite da sequencia
Enviado: Qua Ago 05, 2015 01:09Calcule o limite, se existir, (se não, justifique) da sequencia de termo geral
![an = \sqrt[n]{{2}^{1+3n}}](/latexrender/pictures/5652a781c603cd58d3d647ec0a1541e5.png "an = \sqrt[n]{{2}^{1+3n}}")
![{a}_{n} = \sqrt[n]{{2}^{1+3n}}](/latexrender/pictures/b38ac86dd99bd3571f7f0ef39bba5b50.png "{a}_{n} = \sqrt[n]{{2}^{1+3n}}")
![{a}_{2} = \sqrt[2]{{2}^{7}} = \sqrt[2]{{2}^{6} \times 2} = 2^{3} \sqrt[2]{2} = 8\sqrt[2]{2}](/latexrender/pictures/20589dab157680c8400a1e0950a1f944.png "{a}_{2} = \sqrt[2]{{2}^{7}} = \sqrt[2]{{2}^{6} \times 2} = 2^{3} \sqrt[2]{2} = 8\sqrt[2]{2}")
![{a}_{3} = \sqrt[3]{{2}^{10}} = \sqrt[3]{{2}^{9} \times 2} = 2^{3} \sqrt[3]{2} = 8\sqrt[3]{2}](/latexrender/pictures/0ed603b4efe522e1a7eed2078b81c58f.png "{a}_{3} = \sqrt[3]{{2}^{10}} = \sqrt[3]{{2}^{9} \times 2} = 2^{3} \sqrt[3]{2} = 8\sqrt[3]{2}")
![{a}_{4} = \sqrt[4]{{2}^{13}} = \sqrt[4]{{2}^{12} \times 2} = 2^{3} \sqrt[4]{2} = 8\sqrt[4]{2}](/latexrender/pictures/60c4e1937c2fd718f2a56e8abcdd0348.png "{a}_{4} = \sqrt[4]{{2}^{13}} = \sqrt[4]{{2}^{12} \times 2} = 2^{3} \sqrt[4]{2} = 8\sqrt[4]{2}")
e assim sucessivamente. Para n = n, teremos:
![{a}_{n} = 8\sqrt[n]{2}](/latexrender/pictures/421f5cc27a26a3335831a2c3a40d8291.png "{a}_{n} = 8\sqrt[n]{2}")
Assim:
![{a}_{n} = \sqrt[n]{{2}^{1+3n}} = 8\sqrt[n]{2}](/latexrender/pictures/79205993552bf7519dcac44e549e40d7.png "{a}_{n} = \sqrt[n]{{2}^{1+3n}} = 8\sqrt[n]{2}")
Vejamos alguns valores para:
Seja
![{b}_{n} = \sqrt[n]{2}](/latexrender/pictures/839a88affd61de7c790ac1ac1feac113.png "{b}_{n} = \sqrt[n]{2}")
![n = 2 \Rightarrow {b}_{2} = \sqrt[2]{2} = 1,4142](/latexrender/pictures/1fb87734de31b3f06bb85224fc4e6514.png "n = 2 \Rightarrow {b}_{2} = \sqrt[2]{2} = 1,4142")
![n = 3 \Rightarrow {b}_{3} = \sqrt[3]{2} = 1,2599](/latexrender/pictures/d58be524ce1bb319e8019b2ecfb24ea8.png "n = 3 \Rightarrow {b}_{3} = \sqrt[3]{2} = 1,2599")
![n = 4 \Rightarrow {b}_{4} = \sqrt[4]{2} = 1,1892](/latexrender/pictures/b4eb84a47353e8677e5a61bee7bf564f.png "n = 4 \Rightarrow {b}_{4} = \sqrt[4]{2} = 1,1892")
![n = 5 \Rightarrow {b}_{5} = \sqrt[5]{2} = 1,1486](/latexrender/pictures/8bc4ab3f06570836f082b04fc6a02041.png "n = 5 \Rightarrow {b}_{5} = \sqrt[5]{2} = 1,1486")
Ou seja,
é decrescente e portanto 
também é decrescente.Sendo decrescente e positiva, suspeitamos agora que a sequêcia seja limitada inferiormente, pois
parece convergir para 1 e parece estar convergindo para 8. Então:![\lim_{n \rightarrow \infty } 8\sqrt[n]{2} = \lim_{n \rightarrow \infty } 8 \cdot 2^{\frac{1}{n}} = \lim_{n \rightarrow \infty } 8 * \lim_{n \rightarrow \infty } {2}^{\frac{1}{n}} = 8 \times 1 = 8](/latexrender/pictures/cf9a5d2cdd8dbde490c566d8e5d4c8f3.png "\lim_{n \rightarrow \infty } 8\sqrt[n]{2} = \lim_{n \rightarrow \infty } 8 \cdot 2^{\frac{1}{n}} = \lim_{n \rightarrow \infty } 8 * \lim_{n \rightarrow \infty } {2}^{\frac{1}{n}} = 8 \times 1 = 8")
Pois, à medida que n "tende" ao infinito, n se torna um número "grande" e 1 dividido por esse número cada vez "maior", vai se aproximando de zero e 2 elevado à zero vai se tornar 1 e 1 vezes 8 dá 8.