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[Sequencias] Calculo do limite da sequencia

[Sequencias] Calculo do limite da sequencia

Mensagempor Larissa28 » Qua Ago 05, 2015 01:09

Calcule o limite, se existir, (se não, justifique) da sequencia de termo geral

an = \sqrt[n]{{2}^{1+3n}}
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Re: [Sequencias] Calculo do limite da sequencia

Mensagempor nakagumahissao » Qua Ago 05, 2015 16:32

{a}_{n} = \sqrt[n]{{2}^{1+3n}}

{a}_{2} = \sqrt[2]{{2}^{7}} = \sqrt[2]{{2}^{6} \times 2} = 2^{3} \sqrt[2]{2} = 8\sqrt[2]{2}

{a}_{3} = \sqrt[3]{{2}^{10}} = \sqrt[3]{{2}^{9} \times 2} = 2^{3} \sqrt[3]{2} = 8\sqrt[3]{2}

{a}_{4} = \sqrt[4]{{2}^{13}} = \sqrt[4]{{2}^{12} \times 2} = 2^{3} \sqrt[4]{2} = 8\sqrt[4]{2}

e assim sucessivamente. Para n = n, teremos:

{a}_{n} = 8\sqrt[n]{2}

Assim:

{a}_{n} = \sqrt[n]{{2}^{1+3n}} = 8\sqrt[n]{2}

Vejamos alguns valores para:

Seja {b}_{n} = \sqrt[n]{2}

n = 2 \Rightarrow {b}_{2} = \sqrt[2]{2} = 1,4142
n = 3 \Rightarrow {b}_{3} = \sqrt[3]{2} = 1,2599
n = 4 \Rightarrow {b}_{4} = \sqrt[4]{2} = 1,1892
n = 5 \Rightarrow {b}_{5} = \sqrt[5]{2} = 1,1486

Ou seja, {b}_{n} é decrescente e portanto {a}_{n} também é decrescente.

Sendo decrescente e positiva, suspeitamos agora que a sequêcia seja limitada inferiormente, pois {b}_{n} parece convergir para 1 e {a}_{n} parece estar convergindo para 8. Então:

\lim_{n \rightarrow \infty }  8\sqrt[n]{2} = \lim_{n \rightarrow \infty }  8 \cdot 2^{\frac{1}{n}} = \lim_{n \rightarrow \infty }  8 * \lim_{n \rightarrow \infty }  {2}^{\frac{1}{n}} = 8 \times 1 = 8

Pois, à medida que n "tende" ao infinito, n se torna um número "grande" e 1 dividido por esse número cada vez "maior", vai se aproximando de zero e 2 elevado à zero vai se tornar 1 e 1 vezes 8 dá 8.
Eu faço a diferença. E você?

Do Poema: Quanto os professores "fazem"?
De Taylor Mali
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Re: [Sequencias] Calculo do limite da sequencia

Mensagempor gshickluvx » Ter Nov 03, 2015 01:54

I understand you to say that I have experienced.
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Assunto: Exercicios de polinomios
Autor: shaft - Qua Jun 30, 2010 17:30

2x+5=\left(x+m\right)²-\left(x-n \right)²

Então, o exercicio pede para encontrar {m}^{3}-{n}^{3}.

Bom, tentei resolver a questão acima desenvolvendo as duas partes em ( )...Logo dps cheguei em um resultado q nao soube o q fazer mais.
Se vcs puderem ajudar !


Assunto: Exercicios de polinomios
Autor: Douglasm - Qua Jun 30, 2010 17:53

Bom, se desenvolvermos isso, encontramos:

2x+5 = 2x(m+n) + m^2-n^2

Para que os polinômios sejam iguais, seus respectivos coeficientes devem ser iguais (ax = bx ; ax² = bx², etc.):

2(m+n) = 2 \;\therefore\; m+n = 1

m^2-n^2 = 5 \;\therefore\; (m+n)(m-n) = 5 \;\therefore\; (m-n) = 5

Somando a primeira e a segunda equação:

2m = 6 \;\therefore\; m = 3 \;\mbox{consequentemente:}\; n=-2

Finalmente:

m^3 - n^3 = 27 + 8 = 35

Até a próxima.