[Sequencias] Calculo do limite da sequencia

por **Larissa28** » Ter Ago 04, 2015 00:44

Calcule, caso exista (e se não existir justificar) o limite da sequência de termo geral

$an = \sqrt[]{n+1} - \sqrt[]{n}$

por **nakagumahissao** » Ter Ago 04, 2015 19:52

Solução:

$\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{\left(\sqrt{n+1}\right)^2-\left(\sqrt{n}\right)^2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \,\,\,\,\,\,\,\, [1]$

No Passo acima, foi aplicado o seguinte:

Sejam dois números a e b, pertencentes aos reais, sendo que a - b diferente de zero. Então:

$a + b = (a+b) \frac{(a-b)}{(a-b)} = \frac{a^2 - b^2}{a - b} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, [2]$

Agora, considere que:

$a = \sqrt{n+1} \,\,\,\, e \,\,\,\, b = \sqrt{n}$

Substituindo estes valores acima em [2], obtem-se o resultado dado em [1] acima. Prosseguindo de [1] teremos:

$\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{\left(\sqrt{n+1}\right)^2-\left(\sqrt{n}\right)^2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{|n+1| - |n|}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{n + 1 - n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} =$

Como n é sempre positivo, ignoramos o sinal do módulo acima. Desta maneira:

$\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$

Veja que quando n tende ao infinito,

$n \rightarrow \infty \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{\infty +1}+\sqrt{\infty}} \,\,\, e \,\,\, \frac{1}{\infty} \,\,\,\,\,\,\,\, [3]$

toda a fração tende para zero. Por isto, o resultado é zero.

Nota: As operações realizadas em [3] são apenas ilustrativas e não são válidas como operações. Na realidade, devemos pensar apenas no fato de que n está se aproximando do infinito, seja ele qual for. Infinito não é um número e portanto, não podemos fazer operações com ele. O que se quer dizer em [3] é que, quanto mais nós aumentamos o valor de n em direção ao infinito, teremos um n "grande" e que, estando no denominador da fração, faz com que 1 dividido por um número muito grande tem como resultado um número perto de zero e quanto mais aumentarmos o valor de "n", mais ainda nos aproximaremos de zero.

por **Larissa28** » Ter Ago 04, 2015 22:10

Muito obrigada.

Gostaria de saber se esta correto desta forma tambem?

por **nakagumahissao** » Qua Ago 05, 2015 16:08

Larissa,

Cometi um enorme engano na resolução anterior. Fiz as correções necessárias e postei novamente. Me desculpe.

Com o erro que cometi, levei você a pensar que é possível fazer operações com o símbolo de infinito, o que não é verdade.

Nota: As operações realizadas em [3] na minha resolução são apenas ilustrativas e não são válidas como operações. Na realidade, devemos pensar apenas no fato de que n está se aproximando do infinito, seja ele qual for. Infinito não é um número e portanto, não podemos fazer operações com ele. O que se quer dizer em [3] é que, quanto mais nós aumentamos o valor de n em direção ao infinito, teremos um n "grande" e que, estando no denominador da fração, faz com que 1 dividido por um número muito grande tem como resultado um número perto de zero e quanto mais aumentarmos o valor de "n", mais ainda nos aproximaremos de zero. Por isso, o Limite de 1 dividido por um número muito grande e cada vez mais crescendo, tendendo ao infinito, tem como resultado Zero.

Respondendo sua última pergunta:

Até poderia estar correta, no entanto, como não podemos utilizar o símbolo Infinito para fazer "contas",

${e}^{\infty} - {e}^{\infty}$

é indefinida e não zero.