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[Sequencias] Calculo do limite da sequencia

[Sequencias] Calculo do limite da sequencia

Mensagempor Larissa28 » Ter Ago 04, 2015 00:44

Calcule, caso exista (e se não existir justificar) o limite da sequência de termo geral

an = \sqrt[]{n+1} - \sqrt[]{n}
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Re: [Sequencias] Calculo do limite da sequencia

Mensagempor nakagumahissao » Ter Ago 04, 2015 19:52

Solução:

\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{\left(\sqrt{n+1}\right)^2-\left(\sqrt{n}\right)^2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \,\,\,\,\,\,\,\, [1]

No Passo acima, foi aplicado o seguinte:

Sejam dois números a e b, pertencentes aos reais, sendo que a - b diferente de zero. Então:

a + b = (a+b) \frac{(a-b)}{(a-b)} = \frac{a^2 - b^2}{a - b} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, [2]

Agora, considere que:

a = \sqrt{n+1} \,\,\,\, e \,\,\,\, b = \sqrt{n}

Substituindo estes valores acima em [2], obtem-se o resultado dado em [1] acima. Prosseguindo de [1] teremos:

\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{\left(\sqrt{n+1}\right)^2-\left(\sqrt{n}\right)^2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{|n+1| - |n|}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} = \lim_{n \rightarrow \infty}\frac{n + 1 - n}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} =

Como n é sempre positivo, ignoramos o sinal do módulo acima. Desta maneira:

\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}

Veja que quando n tende ao infinito,

n \rightarrow \infty \Rightarrow \frac{1}{\sqrt{\infty +1}+\sqrt{\infty}} \,\,\, e \,\,\, \frac{1}{\infty} \,\,\,\,\,\,\,\, [3]

toda a fração tende para zero. Por isto, o resultado é zero.

Nota: As operações realizadas em [3] são apenas ilustrativas e não são válidas como operações. Na realidade, devemos pensar apenas no fato de que n está se aproximando do infinito, seja ele qual for. Infinito não é um número e portanto, não podemos fazer operações com ele. O que se quer dizer em [3] é que, quanto mais nós aumentamos o valor de n em direção ao infinito, teremos um n "grande" e que, estando no denominador da fração, faz com que 1 dividido por um número muito grande tem como resultado um número perto de zero e quanto mais aumentarmos o valor de "n", mais ainda nos aproximaremos de zero.
Editado pela última vez por nakagumahissao em Qua Ago 05, 2015 16:47, em um total de 4 vezes.
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Re: [Sequencias] Calculo do limite da sequencia

Mensagempor Larissa28 » Ter Ago 04, 2015 22:10

Muito obrigada.

Gostaria de saber se esta correto desta forma tambem?
Anexos
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Re: [Sequencias] Calculo do limite da sequencia

Mensagempor nakagumahissao » Qua Ago 05, 2015 16:08

Larissa,


Cometi um enorme engano na resolução anterior. Fiz as correções necessárias e postei novamente. Me desculpe.

Com o erro que cometi, levei você a pensar que é possível fazer operações com o símbolo de infinito, o que não é verdade.

Nota: As operações realizadas em [3] na minha resolução são apenas ilustrativas e não são válidas como operações. Na realidade, devemos pensar apenas no fato de que n está se aproximando do infinito, seja ele qual for. Infinito não é um número e portanto, não podemos fazer operações com ele. O que se quer dizer em [3] é que, quanto mais nós aumentamos o valor de n em direção ao infinito, teremos um n "grande" e que, estando no denominador da fração, faz com que 1 dividido por um número muito grande tem como resultado um número perto de zero e quanto mais aumentarmos o valor de "n", mais ainda nos aproximaremos de zero. Por isso, o Limite de 1 dividido por um número muito grande e cada vez mais crescendo, tendendo ao infinito, tem como resultado Zero.

Respondendo sua última pergunta:

Até poderia estar correta, no entanto, como não podemos utilizar o símbolo Infinito para fazer "contas",

{e}^{\infty} - {e}^{\infty}

é indefinida e não zero.
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Re: [Sequencias] Calculo do limite da sequencia

Mensagempor Larissa28 » Qua Ago 05, 2015 20:45

Agora sim entendi.
Muito obrigada, vou refazer a questão (:
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Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: leandro moraes - Qui Jul 01, 2010 12:41

pessoal eu achei como resultado 180 toneladas,entretanto sei que a questão está erra pela lógica e a resposta correta segundo o gabarito é 1.800 toneladas.
me explique onde eu estou pecando na questão. resolva explicando.

78 – ( CEFET – 1993 ) Os desabamentos, em sua maioria, são causados por grande acúmulo de lixo nas encostas dos morros. Se 10 pessoas retiram 135 toneladas de lixo em 9 dias, quantas toneladas serão retiradas por 40 pessoas em 30 dias ?


Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: Douglasm - Qui Jul 01, 2010 13:16

Observe o raciocínio:

10 pessoas - 9 dias - 135 toneladas

1 pessoa - 9 dias - 13,5 toneladas

1 pessoa - 1 dia - 1,5 toneladas

40 pessoas - 1 dia - 60 toneladas

40 pessoas - 30 dias - 1800 toneladas


Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: leandro moraes - Qui Jul 01, 2010 13:18

pessoal já achei a resposta. o meu erro foi bobo rsrsrrs errei em uma continha de multiplicação, é mole rsrsrsr mas felizmente consegui.


Assunto: dúvida em uma questão em regra de 3!
Autor: leandro moraes - Qui Jul 01, 2010 13:21

leandro moraes escreveu:pessoal já achei a resposta. o meu erro foi bobo rsrsrrs errei em uma continha de multiplicação, é mole rsrsrsr mas felizmente consegui.

valeu meu camarada.