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Demonstrar que a função f é igual a uma certa série

Demonstrar que a função f é igual a uma certa série

Mensagempor fff » Seg Jan 05, 2015 17:15

Mostre, partindo do desenvolvimento de g(x)=log(x+1), que:

f(x)=\frac{1}{1+x^2}=\sum (-1)^nx^{2n}
com raio de convergência r=1.

Ps: Desenvolvimento de g(x)=log(x+1) ->\sum \frac{{(-1)}^{n+1}{x}^{n}}{n}
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Re: Demonstrar que a função f é igual a uma certa série

Mensagempor Russman » Ter Jan 06, 2015 00:43

Acredito que haja algo errado na questão. Confira o enunciado.
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Re: Demonstrar que a função f é igual a uma certa série

Mensagempor fff » Ter Jan 06, 2015 09:57

Talvez seja o desenvolvimento do g(x)=log(1+x), neste site diz que é -\sum \frac{{(-1)}^{n}{x}^{n}}{n}, mas neste já diz outra coisa :(
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Re: Demonstrar que a função f é igual a uma certa série

Mensagempor Russman » Ter Jan 06, 2015 18:50

Eu acreditava que o problema estava mais adiante. Mas, me enganei. Está correto.

De fato, a representação em série de potências das função g(x) = \ln (x+1) é

\ln (x+1) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}x^n

que é equivalente a -\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n}x^n já que basta fatorar o número (-1)^1 do somatóro.

Fazendo isso, podemos trocar x\rightarrow x^2 na função e obter

\ln(x^2+1)= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}x^{2n}.

Agora, derivando com relação a x em ambos os lados, temos

\frac{2x}{1+x^2} =  \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}2n.x^{2n-1}

de onde, simplificando, obtemos

\frac{x^2}{1+x^2} =  \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}x^{2n}

Esta expressão parece correta. Eu tomei x=\frac{1}{2} e somei parcialmente usando método computacional e obtive

http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+%28-1%29%5E%28n%2B1%29+*+%281%2F2%29%5E%282n%29++from+n%3D1+to+n%3D10.

De fato,

\frac{(1/2)^2}{1+(1/2)^2} = 1/5 = 0,2.

Ok!

Agora, se transferirmos o x^2 do numerador da função para a soma, temos

\frac{1}{1+x^2} =  \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}x^{2n-2}  = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}x^{2(n-1)}.

Agora, trocando n-1 \rightarrow n \Rightarrow n \rightarrow n+1, finalmente

\frac{1}{1+x^2} =  \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n}

Eu faria assim.
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Re: Demonstrar que a função f é igual a uma certa série

Mensagempor fff » Qua Jan 07, 2015 18:14

Já percebi, muito obrigada :)
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Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: zig - Sex Set 23, 2011 13:57

{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: Vennom - Sex Set 23, 2011 21:41

zig escreveu:{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}


Rpz, o negócio é o seguinte:
Quando você tem uma potência negativa, tu deve inverter a base dela. Por exemplo: {\frac{1}{4}}^{-1} = \frac{4}{1}

Então pense o seguinte: a fração geratriz de 0,05 é \frac{1}{20} , ou seja, 1 dividido por 20 é igual a 0.05 . Sendo assim, a função final é igual a vinte elevado à meio.
Veja: {0,05}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{1}{20}}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{20}{1}}^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{20}

A raiz quadrada de vinte, você acha fácil, né?

Espero ter ajudado.


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:23

Nós podemos simplificar, um pouco, sqrt(20) da seguinte forma:

sqrt(20) = sqrt(4 . 5) = sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 sqrt(5).

É isso.


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:24

Nós podemos simplificar, um pouco, \sqrt(20) da seguinte forma:

\sqrt(20) = \sqrt(4 . 5) = \sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 \sqrt(5).

É isso.