• Anúncio Global
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

Demonstrar que a função f é igual a uma certa série

Demonstrar que a função f é igual a uma certa série

Mensagempor fff » Seg Jan 05, 2015 17:15

Mostre, partindo do desenvolvimento de g(x)=log(x+1), que:

f(x)=\frac{1}{1+x^2}=\sum (-1)^nx^{2n}
com raio de convergência r=1.

Ps: Desenvolvimento de g(x)=log(x+1) ->\sum \frac{{(-1)}^{n+1}{x}^{n}}{n}
Avatar do usuário
fff
Colaborador Voluntário
Colaborador Voluntário
 
Mensagens: 103
Registrado em: Sáb Dez 21, 2013 11:30
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Engenharia Informática
Andamento: cursando

Re: Demonstrar que a função f é igual a uma certa série

Mensagempor Russman » Ter Jan 06, 2015 00:43

Acredito que haja algo errado na questão. Confira o enunciado.
"Ad astra per aspera."
Russman
Colaborador Voluntário
Colaborador Voluntário
 
Mensagens: 1183
Registrado em: Sex Abr 20, 2012 22:06
Formação Escolar: PÓS-GRADUAÇÃO
Área/Curso: Física
Andamento: formado

Re: Demonstrar que a função f é igual a uma certa série

Mensagempor fff » Ter Jan 06, 2015 09:57

Talvez seja o desenvolvimento do g(x)=log(1+x), neste site diz que é -\sum \frac{{(-1)}^{n}{x}^{n}}{n}, mas neste já diz outra coisa :(
Avatar do usuário
fff
Colaborador Voluntário
Colaborador Voluntário
 
Mensagens: 103
Registrado em: Sáb Dez 21, 2013 11:30
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Engenharia Informática
Andamento: cursando

Re: Demonstrar que a função f é igual a uma certa série

Mensagempor Russman » Ter Jan 06, 2015 18:50

Eu acreditava que o problema estava mais adiante. Mas, me enganei. Está correto.

De fato, a representação em série de potências das função g(x) = \ln (x+1) é

\ln (x+1) = \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}x^n

que é equivalente a -\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n}x^n já que basta fatorar o número (-1)^1 do somatóro.

Fazendo isso, podemos trocar x\rightarrow x^2 na função e obter

\ln(x^2+1)= \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}x^{2n}.

Agora, derivando com relação a x em ambos os lados, temos

\frac{2x}{1+x^2} =  \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}2n.x^{2n-1}

de onde, simplificando, obtemos

\frac{x^2}{1+x^2} =  \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}x^{2n}

Esta expressão parece correta. Eu tomei x=\frac{1}{2} e somei parcialmente usando método computacional e obtive

http://www.wolframalpha.com/input/?i=sum+%28-1%29%5E%28n%2B1%29+*+%281%2F2%29%5E%282n%29++from+n%3D1+to+n%3D10.

De fato,

\frac{(1/2)^2}{1+(1/2)^2} = 1/5 = 0,2.

Ok!

Agora, se transferirmos o x^2 do numerador da função para a soma, temos

\frac{1}{1+x^2} =  \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}x^{2n-2}  = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}x^{2(n-1)}.

Agora, trocando n-1 \rightarrow n \Rightarrow n \rightarrow n+1, finalmente

\frac{1}{1+x^2} =  \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n}

Eu faria assim.
"Ad astra per aspera."
Russman
Colaborador Voluntário
Colaborador Voluntário
 
Mensagens: 1183
Registrado em: Sex Abr 20, 2012 22:06
Formação Escolar: PÓS-GRADUAÇÃO
Área/Curso: Física
Andamento: formado

Re: Demonstrar que a função f é igual a uma certa série

Mensagempor fff » Qua Jan 07, 2015 18:14

Já percebi, muito obrigada :)
Avatar do usuário
fff
Colaborador Voluntário
Colaborador Voluntário
 
Mensagens: 103
Registrado em: Sáb Dez 21, 2013 11:30
Formação Escolar: GRADUAÇÃO
Área/Curso: Engenharia Informática
Andamento: cursando


Voltar para Sequências

 



  • Tópicos relacionados
    Respostas
    Exibições
    Última mensagem

Quem está online

Usuários navegando neste fórum: Nenhum usuário registrado e 2 visitantes

 



Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: Alucard014 - Dom Ago 01, 2010 18:22

(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.


Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.