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subsequência-monotonia e convergência

subsequência-monotonia e convergência

Mensagempor ulisses123 » Dom Jul 13, 2014 07:04

Un é definida por:1+3n se n é par e 2n-15 se n é par.a)prove que a sequência não é monótona.b)prove que ela não é convergente.
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Re: subsequência-monotonia e convergência

Mensagempor e8group » Dom Jul 13, 2014 12:33

Ela seria monótona se fosse crescente u_{n+1}  \geq u_n  (\forall n ) ou decrescente u_{n+1} \leq u_n  (\forall n ) .

Vamos negar a tese " ... crescente u_{n+1}  \geq u_n  (\forall n ) ou decrescente u_{n+1} \leq u_n  (\forall n ) " . Para tal,devemos encontrar alguns números naturais particulares n_1 > n_2 > n_3 tais que

u_{n_2}  <  u_{n_1}(aqui estamos negando que a seq. não é crescente ) e u_{n_3}  > u_{n_1}(aqui estamos negando que a seq. não é decrescente )o que implicará a não monotonicidade da sequência .(Negação da tese implica a negação da hipótese ) .

Tome n_1 =1 e n_2 = 2 e n_3 = 10 . Nós temos por um lado

u_1 = 4 > u_2 = -11 e por outro lado u_{10} = 5 > 4 = u_1 , logo a sequência não é monótona .

Para (b) é o suficiente mostrar que a sequência é ilimitada .
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Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: Alucard014 - Dom Ago 01, 2010 18:22

(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.


Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.