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por CJunior » Qui Jun 19, 2014 15:42
Olá pessoal, eu estou com muita dúvida na questão abaixo, não sei nem como começar a responder!!!
Sejam
e
,
. Se
para
, prove que
tem, no mínimo,
divisores positivos,
.
Eu gostaria também que vocês me indicassem algum material bom e gratuito, especialmente em pdf e de caráter introdutório, pelo qual eu aprenderei a resolver problemas que envolvam sequências, como o problema acima, recorrências e produtos e somas telescópicas a nível olímpico(nível 2). Desde já, muito obrigado!!!
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CJunior
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por e8group » Sex Jun 20, 2014 01:24
Segue minha dicas .
Proposta 1 : Indução Matemática . Está familiarizado com indução ?
Proposta 2 . Para
,segue-se que
(Fórmula recursiva ) equivalentemente
para
.
Podemos utilizar a fórmula recursiva para escrever
em função de
(a fórmula é válida sempre que o índice
) .Assim , por exemplo
. Em geral , tem-se
.
Deixe
, então
.
A ideia agora é encontrar todos números
(distintos) que é escrito como produto de
termos distintos da lista
para
.A pergunta é , escolhendo-se
números acima dentro dos
, quanto números
teremos ?? A respota p/ está pergunta será a quantidade mínima [/tex] .
Para cada
. Temos que a quantidade de k-uplas da forma
de modo que
, com
sendo algum dos
é
que é a mesma quantidade de produtos distintos da forma
.
Logo , o n° mínimo requerido é
e
.
Desde que ,
Segue-se que
.
Aí fica minhas sugestões ; acho que a
proposta 1 é mais adequada .
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e8group
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por e8group » Sex Jun 20, 2014 12:12
Na verdade , errei na digitação .
O certo seria
e não
...
Aproveitando os cálculos basta trocar k por k+2 e manipular combinação em função da de n-2 a k ; mesmo assim a desigualdade é válida . Além disso , há mais divisores ; pois
sempre que
, então
sempre que
. Por este lado , nota-se que algum dos divisores de
são escritos como
com
ou
.
Todos estes números certamente dividem
. Se analisar todas as possibilidades juntamente com aquelas que já fizemos somando-se obterá um n° que é menor o igual
(se não errei contas ) ; logo este número sempre cumpre com o mínimo requerido .Mas vale ressaltar a importância de usar a indução matemática , essa sim é mais é mais precisa e formal . Pode-se que fizemos algumas afirmações que não cumprem com os termos depois dos "..." , pq não ?
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e8group
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Assunto:
método de contagem
Autor:
sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10
Veja este exercício:
Se A = {
} e B = {
}, então o número de elementos A
B é:
Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?
No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:
existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?
A resposta é 3?
Obrigado.
Assunto:
método de contagem
Autor:
Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42
Boa noite, sinuca.
Se A = {
} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é
A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Se B = {
} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é
B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...
Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são:
5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).
Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?
sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:
existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x
A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima
Bom estudo,
Assunto:
método de contagem
Autor:
sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35
Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.
Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:
Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?
Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?
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