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[sequencia] Calcular limite de sequencia por definição

[sequencia] Calcular limite de sequencia por definição

Mensagempor amigao » Ter Abr 15, 2014 15:15

Olá pessoal não consegui fazer nada nesse exercicio alguem pode me ajudar??

Calcule o limite da seqüência dada e PROVE que a referida seqüência efetivamente converge para esse limite (ou diverge para +oo ou —oo, conforme o caso).
(segue a imagem do exercício)


grato.
Anexos
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exercicio
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Re: [sequencia] Calcular limite de sequencia por definição

Mensagempor e8group » Ter Abr 15, 2014 22:51

Tente provar que a sequência é limitada superiormente por 1 e inferiormente por 1/3 .

Para provar que a_n < 1 , basta notar que o número do numerador é sempre menor que do denominador e portanto o quociente é menor que 1 .

Para provar que a_n > 1/3 , note que

1 - 3\sqrt{n} \leq -2    \implies  n(1-3\sqrt{n}) \leq -2n  \implies  n(1-3\sqrt{n}) + 1  = n + 1 -3n\sqrt{n} \leq -2n + 1 < 0  \implies n+1 < 3n \sqrt{n}  \implies  3n^2 +n + 1 < 3(n^2 + n\sqrt{n})  ...


Ora, temos 1/3 < a_n < 1 para qualquer n natural . Então ,

a_n - 1/3 =|a_n - 1/3| < 1 -1/3 = 2/3 . Pondo , \epsilon = 2/3 e n_0 = 1 , obtemos

\epsilon > 0 tal que n \geq n_0 implica |a_n -1/3| < \epsilon .
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Re: [sequencia] Calcular limite de sequencia por definição

Mensagempor e8group » Qua Abr 16, 2014 00:55

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Re: [sequencia] Calcular limite de sequencia por definição

Mensagempor amigao » Seg Abr 21, 2014 15:42

santhiago escreveu:Tente provar que a sequência é limitada superiormente por 1 e inferiormente por 1/3 .

Para provar que a_n < 1 , basta notar que o número do numerador é sempre menor que do denominador e portanto o quociente é menor que 1 .

Para provar que a_n > 1/3 , note que

1 - 3\sqrt{n} \leq -2    \implies  n(1-3\sqrt{n}) \leq -2n  \implies  n(1-3\sqrt{n}) + 1  = n + 1 -3n\sqrt{n} \leq -2n + 1 < 0  \implies n+1 < 3n \sqrt{n}  \implies  3n^2 +n + 1 < 3(n^2 + n\sqrt{n})  ...


Ora, temos 1/3 < a_n < 1 para qualquer n natural . Então ,

a_n - 1/3 =|a_n - 1/3| < 1 -1/3 = 2/3 . Pondo , \epsilon = 2/3 e n_0 = 1 , obtemos

\epsilon > 0 tal que n \geq n_0 implica |a_n -1/3| < \epsilon .


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Muito obrigado!! Entendi
amigao
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Re: [sequencia] Calcular limite de sequencia por definição

Mensagempor e8group » Dom Mai 11, 2014 17:09

amigao , cometi um erro , não sei por que fiz aquilo , a definição é clara. O fato de | a_n - 1/3| < 2/3 não implica que lim(a_n) = 1/3 . É claro que n \geq 1 \implies  | a_n - 1/3| < \epsilon sempre que \epsilon \geq 2/3(Vimos isto ) . Mas , se 0 < \epsilon < 2/3 ? Será que existe n_0  \in \mathbb{N} t.q n \geq n_0 \implies |a_n - 1/3| < \epsilon ?

Por definição lim(b_n) = L <  \infty  \iff  \forall \epsilon > 0 , \exists n_0(\epsilon) > 0  : \forall n \geq n_0(\epsilon) \implies  |b_n - L | < \epsilon . Isto deve funcionar para todo \epsilon > 0 e não apenas para um em particular conforme eu fiz .

Quando 0 < \epsilon <2/3 , parece complicado determinar um n_0 correspondente t.q . n \geq n_0  \implies | a_n - 1/3| < \epsilon . Entretanto , podemos limitar a_n (inferiormente e superiormente) por duas sequências convergente para 1/3 (em que a demostração seja mais simples ) e com isso pelo teorema do confronto (a_n ) \to 1/3 .

Já vimos que a_n \geq 1/3 e hoje afirmo que a_n \leq  \frac{1}{3} + \frac{1}{3\sqrt{n}}  ,  \forall n \geq 1 . (A verificação é simples , o denominador de a_n é sempre maior que 3n^2 , n \geq 1 , logo a relação de ordem inverte em relação ao recíproco )

Seja : b_n = 1/3 e c_n = \frac{1}{3\sqrt{n}} e d_n = b_n + c_n . Portanto , temos

b_n \leq a_n \leq b_n + c_n .

Provar a convergência de (c_n) é simples (comparado com (a_n) ) e provar a convergência de (b_n) trivial .

Provando isto acima d_n converge para a soma dos limites de b_n e c_n .

Para a resposta não ficar vaga , vou propor uma demostração para dois teoremas (acho mais fácil que provar que (a_n) converge [/tex] .

Teorema 1 :
Sejam M,L \in \mathbb{R} e a sequência (d_n) ; d_n := b_n + c_n [/tex] .
Se (c_n) \to M e (b_n) \to L então (d_n) \to M+ L .

Prova :

Da hipótese (c_n) e (b_n) convergirem , dado qualquer \epsilon > 0 existe N' ,N'' > 0 tais que

(1) | b_n - L |< \epsilon/2 sempre que n \geq N'

(2) | c_n - M |< \epsilon/2 sempre que n \geq N''

Agora |d_n - (L+M)| = | (b_n - L) + (c_n - M) |  \leq  |b_n - L| + |c_n -  M| . Podemos definir N = max\{N', N''\} com isso (1) e (2) são simultaneamente verdadeiros sempre que n \geq N , donde resulta por transitividade que |d_n -(L+M)| < \epsilon .

Teorema 2 :

Se existe N' \in \mathbb{N} tal que c_n \leq  a_n  \leq d_n para todo n \geq N' e lim(c_n) = lim(d_n) = L , logo lim(a_n) = L .Prova :

Dá hipótese lim(c_n) = lim(d_n) = L  \implies  \forall \epsilon > 0 , \exists N'' , N''' > 0   :

(1) n \geq N'' \implies     |c_n - L | < \epsilon

(2) n \geq N'''  \implies     |d_n - L | < \epsilon .

Seja N = max{N',N'', N'''\} , então (1), (2) e c_n \leq  a_n  \leq d_n são sempre verdadeiros quando n \geq N .

Como |c_n - L | < \epsilon  \iff    L - \epsilon  <  c_n  <  \epsilon +  L e |b_n - L | < \epsilon  \iff    L - \epsilon  <  b_n  <  \epsilon + L , então por transitividade L - \epsilon  <  a_n  <  \epsilon +  L sempre que n \geq N .
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Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Dom Jan 17, 2010 14:42

Não sei onde este tópico se encaixaria. Então me desculpem.
Eu não entendi essa passagem, alguém pode me explicar?
2n \geq n+1 ,\forall n \in\aleph*
O livro explica da seguinte forma.
1°) P(1) é verdadeira, pois 2.1 \geq 1+1
2°) Admitamos que P(k), k \in \aleph*, seja verdadeira:
2k \geq k+1 (hipótese da indução)
e provemos que 2(k+1) \geq (K+1)+1
Temos: (Nessa parte)
2(k+1) = 2k+2 \geq (k+1)+2 > (k+1)+1


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Seg Jan 18, 2010 01:55

Boa noite Fontelles.

Não sei se você está familiarizado com o Princípio da Indução Finita, portanto vou tentar explicar aqui.

Ele dá uma equação, no caso:

2n \geq n+1, \forall n \in \aleph^{*}

E pergunta: ela vale para todo n? Como proceder: no primeiro passo, vemos se existe pelo menos um caso na qual ela é verdadeira:

2*1 \geq 1+1

Portanto, existe pelo menos um caso para o qual ela é verdadeira. Agora, supomos que k seja verdadeiro, e pretendemos provar que também é verdadeiro para k+1.

\mbox{Suponhamos que P(k), }k \in \aleph^{*},\mbox{ seja verdadeiro:}
2k \geq k+1

\mbox{Vamos provar que:}
2(k+1) \geq (k+1)+1

Daí pra frente, ele usou o primeiro membro para chegar em uma conclusão que validava a tese. Lembre-se: nunca saia da tese.

Espero ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Seg Jan 18, 2010 02:28

Mas, Fantini, ainda fiquei em dúvida na passagem que o autor fez (deixei uma msg entre o parêntese).
Obrigado pela ajuda, mesmo assim.
Abraço!


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Fontelles - Qui Jan 21, 2010 11:32

Galera, ajuda aí!
Por falar nisso, alguém conhece algum bom material sobre o assunto. O livro do Iezzi, Matemática Elementar vol. 1 não está tão bom.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Jan 21, 2010 12:25

Boa tarde Fontelles!

Ainda não estou certo de qual é a sua dúvida, mas tentarei novamente.

O que temos que provar é isso: 2(k+1) \geq (k+1)+1, certo? O autor começou do primeiro membro:

2(k+1)= 2k+2

Isso é verdadeiro, certo? Ele apenas aplicou a distributiva. Depois, partiu para uma desigualdade:

2k+2 \geq (k+1)+2

Que é outra verdade. Agora, com certeza:

(k+1)+2 > (k+1)+1

Agora, como 2(k+1) é \geq a (k+1)+2, e este por sua vez é sempre > que (k+1)+1, logo:

2(k+1) \geq (k+1)+1 \quad \mbox{(c.q.d)}

Inclusive, nunca é igual, sempre maior.

Espero (dessa vez) ter ajudado.

Um abraço.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Caeros - Dom Out 31, 2010 10:39

Por curiosidade estava estudando indução finita e ao analisar a questão realmente utilizar a desigualdade apresentada foi uma grande sacada para este problema, só queria tirar uma dúvida sobre a sigla (c.q.d), o que significa mesmo?


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: andrefahl - Dom Out 31, 2010 11:37

c.q.d. = como queriamos demonstrar =)


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Abelardo - Qui Mai 05, 2011 17:33

Fontelles, um bom livro para quem ainda está ''pegando'' o assunto é:'' Manual de Indução Matemática - Luís Lopes''. É baratinho e encontras na net com facilidade. Procura também no site da OBM, vais encontrar com facilidade material sobre PIF... em alguns sites que preparam alunos para colégios militares em geral também tem excelentes materiais.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: MarceloFantini - Qui Mai 05, 2011 20:05

Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.


Assunto: Princípio da Indução Finita
Autor: Vennom - Qui Abr 26, 2012 23:04

MarceloFantini escreveu:Abelardo, faz 1 ano que o Fontelles não visita o site, da próxima vez verifique as datas.

Rpz, faz um ano que o fulano não visita o site, mas ler esse comentário dele enquanto respondia a outro tópico me ajudou. hAUEhUAEhUAEH obrigado, Marcelo. Sua explicação de indução finita me sanou uma dúvida sobre outra coisa. :-D