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[sequencia] Calcular limite de sequencia por definição

[sequencia] Calcular limite de sequencia por definição

Mensagempor amigao » Ter Abr 15, 2014 15:15

Olá pessoal não consegui fazer nada nesse exercicio alguem pode me ajudar??

Calcule o limite da seqüência dada e PROVE que a referida seqüência efetivamente converge para esse limite (ou diverge para +oo ou —oo, conforme o caso).
(segue a imagem do exercício)


grato.
Anexos
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exercicio
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Re: [sequencia] Calcular limite de sequencia por definição

Mensagempor e8group » Ter Abr 15, 2014 22:51

Tente provar que a sequência é limitada superiormente por 1 e inferiormente por 1/3 .

Para provar que a_n < 1 , basta notar que o número do numerador é sempre menor que do denominador e portanto o quociente é menor que 1 .

Para provar que a_n > 1/3 , note que

1 - 3\sqrt{n} \leq -2    \implies  n(1-3\sqrt{n}) \leq -2n  \implies  n(1-3\sqrt{n}) + 1  = n + 1 -3n\sqrt{n} \leq -2n + 1 < 0  \implies n+1 < 3n \sqrt{n}  \implies  3n^2 +n + 1 < 3(n^2 + n\sqrt{n})  ...


Ora, temos 1/3 < a_n < 1 para qualquer n natural . Então ,

a_n - 1/3 =|a_n - 1/3| < 1 -1/3 = 2/3 . Pondo , \epsilon = 2/3 e n_0 = 1 , obtemos

\epsilon > 0 tal que n \geq n_0 implica |a_n -1/3| < \epsilon .
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Re: [sequencia] Calcular limite de sequencia por definição

Mensagempor e8group » Qua Abr 16, 2014 00:55

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Re: [sequencia] Calcular limite de sequencia por definição

Mensagempor amigao » Seg Abr 21, 2014 15:42

santhiago escreveu:Tente provar que a sequência é limitada superiormente por 1 e inferiormente por 1/3 .

Para provar que a_n < 1 , basta notar que o número do numerador é sempre menor que do denominador e portanto o quociente é menor que 1 .

Para provar que a_n > 1/3 , note que

1 - 3\sqrt{n} \leq -2    \implies  n(1-3\sqrt{n}) \leq -2n  \implies  n(1-3\sqrt{n}) + 1  = n + 1 -3n\sqrt{n} \leq -2n + 1 < 0  \implies n+1 < 3n \sqrt{n}  \implies  3n^2 +n + 1 < 3(n^2 + n\sqrt{n})  ...


Ora, temos 1/3 < a_n < 1 para qualquer n natural . Então ,

a_n - 1/3 =|a_n - 1/3| < 1 -1/3 = 2/3 . Pondo , \epsilon = 2/3 e n_0 = 1 , obtemos

\epsilon > 0 tal que n \geq n_0 implica |a_n -1/3| < \epsilon .


---------------------
Muito obrigado!! Entendi
amigao
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Re: [sequencia] Calcular limite de sequencia por definição

Mensagempor e8group » Dom Mai 11, 2014 17:09

amigao , cometi um erro , não sei por que fiz aquilo , a definição é clara. O fato de | a_n - 1/3| < 2/3 não implica que lim(a_n) = 1/3 . É claro que n \geq 1 \implies  | a_n - 1/3| < \epsilon sempre que \epsilon \geq 2/3(Vimos isto ) . Mas , se 0 < \epsilon < 2/3 ? Será que existe n_0  \in \mathbb{N} t.q n \geq n_0 \implies |a_n - 1/3| < \epsilon ?

Por definição lim(b_n) = L <  \infty  \iff  \forall \epsilon > 0 , \exists n_0(\epsilon) > 0  : \forall n \geq n_0(\epsilon) \implies  |b_n - L | < \epsilon . Isto deve funcionar para todo \epsilon > 0 e não apenas para um em particular conforme eu fiz .

Quando 0 < \epsilon <2/3 , parece complicado determinar um n_0 correspondente t.q . n \geq n_0  \implies | a_n - 1/3| < \epsilon . Entretanto , podemos limitar a_n (inferiormente e superiormente) por duas sequências convergente para 1/3 (em que a demostração seja mais simples ) e com isso pelo teorema do confronto (a_n ) \to 1/3 .

Já vimos que a_n \geq 1/3 e hoje afirmo que a_n \leq  \frac{1}{3} + \frac{1}{3\sqrt{n}}  ,  \forall n \geq 1 . (A verificação é simples , o denominador de a_n é sempre maior que 3n^2 , n \geq 1 , logo a relação de ordem inverte em relação ao recíproco )

Seja : b_n = 1/3 e c_n = \frac{1}{3\sqrt{n}} e d_n = b_n + c_n . Portanto , temos

b_n \leq a_n \leq b_n + c_n .

Provar a convergência de (c_n) é simples (comparado com (a_n) ) e provar a convergência de (b_n) trivial .

Provando isto acima d_n converge para a soma dos limites de b_n e c_n .

Para a resposta não ficar vaga , vou propor uma demostração para dois teoremas (acho mais fácil que provar que (a_n) converge [/tex] .

Teorema 1 :
Sejam M,L \in \mathbb{R} e a sequência (d_n) ; d_n := b_n + c_n [/tex] .
Se (c_n) \to M e (b_n) \to L então (d_n) \to M+ L .

Prova :

Da hipótese (c_n) e (b_n) convergirem , dado qualquer \epsilon > 0 existe N' ,N'' > 0 tais que

(1) | b_n - L |< \epsilon/2 sempre que n \geq N'

(2) | c_n - M |< \epsilon/2 sempre que n \geq N''

Agora |d_n - (L+M)| = | (b_n - L) + (c_n - M) |  \leq  |b_n - L| + |c_n -  M| . Podemos definir N = max\{N', N''\} com isso (1) e (2) são simultaneamente verdadeiros sempre que n \geq N , donde resulta por transitividade que |d_n -(L+M)| < \epsilon .

Teorema 2 :

Se existe N' \in \mathbb{N} tal que c_n \leq  a_n  \leq d_n para todo n \geq N' e lim(c_n) = lim(d_n) = L , logo lim(a_n) = L .Prova :

Dá hipótese lim(c_n) = lim(d_n) = L  \implies  \forall \epsilon > 0 , \exists N'' , N''' > 0   :

(1) n \geq N'' \implies     |c_n - L | < \epsilon

(2) n \geq N'''  \implies     |d_n - L | < \epsilon .

Seja N = max{N',N'', N'''\} , então (1), (2) e c_n \leq  a_n  \leq d_n são sempre verdadeiros quando n \geq N .

Como |c_n - L | < \epsilon  \iff    L - \epsilon  <  c_n  <  \epsilon +  L e |b_n - L | < \epsilon  \iff    L - \epsilon  <  b_n  <  \epsilon + L , então por transitividade L - \epsilon  <  a_n  <  \epsilon +  L sempre que n \geq N .
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Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Qui Out 13, 2011 22:46

Divida o numero 35 em partes diretamente proporcionais a 4, 10 e 14. Em seguida divida o mesmo numero em partes proporcionais a 6, 15 e 21. explique por que os resultados sao iguais.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Sáb Out 15, 2011 10:25

POR GENTILEZA PODEM VERIFICAR SE O MEU RACIOCINIO ESTÁ CERTO?

P1 = K.4 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P1= 5
P2 = K.10 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P2= 12,50
P3 = K.13 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P3= 17,50

P1+P2+P3 = 35
K.4+K.10+K.13 = 35
28 K = 35
K= 1,25


P1 = K.6 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P1= 5
P2 = K.15 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P2 = 12,50
P3 = K.21 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P3 = 17,50
K.6+K.15+K.21 = 35
42K = 35
K= 0,833


4/6 =10/15 =14/21 RAZÃO = 2/3

SERÁ QUE ESTÁ CERTO?
ALGUEM PODE ME AJUDAR A EXPLICAR MELHOR?
OBRIGADA
SILVIA


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Dom Out 16, 2011 00:37

utilize a definição e não se baseie no exercícios resolvidos da redefor, assim você terá mais clareza, mas acredito que sua conclusão esteja correto, pois o motivo de darem o mesmo resultado é pq a razão é a mesma.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: Marcos Roberto - Dom Out 16, 2011 18:24

Silvia:
Acho que o resultado é o mesmo pq as razões dos coeficientes e as razões entre os números são inversamente proporcionais.

Você conseguiu achar o dia em que caiu 15 de novembro de 1889?


Assunto: Proporcionalidade
Autor: deiasp - Dom Out 16, 2011 23:45

Ola pessoal
Tb. estou no redefor
O dia da semana em 15 de novembro de 1889, acredito que foi em uma sexta feira


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Seg Out 17, 2011 06:23

Bom dia,
Realmente foi uma sexta feira, como fazer os calculos para chegar ?


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Seg Out 17, 2011 07:18

Para encontrar o dia que caiu 15 de novembro de 1889 você deve em primeiro lugar encontrar a quantidade de anos bissextos que houve entre 1889 à 2011, após isso dá uma verificada no ano 1900, ele não é bissexto, pois a regra diz que ano que é múltiplo de 100 e não é múltiplo de 400 não é bissexto.
Depois calcule quantos dias dão de 1889 até 2011, basta pegar a quantidade de anos e multiplicar por 365 + 1 dia a cada ano bissexto (esse resultado você calculou quando encontrou a quantidade de anos bissextos)
Pegue o resultado e divida por 7 e vai obter o resto.
obtendo o resto e partindo da data que pegou como referência conte a quantidade do resto para trás da semana.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Seg Out 17, 2011 07:40

Bom dia,
Será que é assim:
2011 a 1889 são 121 anos sendo , 30 anos bissextos e 91 anos normais então temos:
30x366 = 10.980 dias
91x365 = 33.215 dias
incluindo 15/11/1889 - 31/12/1889 47 dias
33215+10980+47 = 44242 dias

44242:7 = 6320 + resto 2

è assim, nâo sei mais sair disso.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Seg Out 17, 2011 10:24

que tal descontar 1 dia do seu resultado, pois 1900 não é bissexto, ai seria 44241 e quando fizer a divisão o resto será 1
como etá pegando base 1/01/2011, se reparar bem 01/01/2011 sempre cai no mesmo dia que 15/01/2011, sendo assim se 01/01/2011 caiu em um sábado volte 1 dia para trás, ou seja, você está no sábado e voltando 1 dia voltará para sexta.então 15/11/1889 cairá em uma sexta


Assunto: Proporcionalidade
Autor: Kiwamen2903 - Seg Out 17, 2011 19:43

Boa noite, sou novo por aqui, espero poder aprender e ajudar quando possível! A minha resposta ficou assim:


De 1889 até 2001 temos 29 anos bissextos a começar por 1892 (primeiro múltiplo de 4 após 1889) e terminar por 2008 (último múltiplo de 4 antes de 2011). Vale lembrar que o ano 1900 não é bissexto, uma vez que é múltiplo de 100 mas não é múltiplo de 400.

De um ano normal para outro, se considerarmos a mesma data, eles caem em dias consecutivos da semana. Por exemplo 01/01/2011 – sábado, e 01/01/2010 – sexta.

De um ano bissexto para outro, se considerarmos a mesma data, um cai dois dias da semana depois do outro. Por exemplo 01/01/2008 (ano bissexto) – Terça – feira, e 01/01/09 – Quinta-feira.

Sendo assim, se contarmos um dia da semana de diferença para cada um dos 01/01 dos 122 anos que separam 1889 e 2011 mais os 29 dias a mais referentes aos anos bissextos entre 1889 e 2011, concluímos que são 151 dias da semana de diferença, o que na realidade nos trás: 151:7= 21x7+4, isto é, são 4 dias da semana de diferença. Logo, como 15/11/2011 cairá em uma terça-feira, 15/11/1889 caiu em uma sexta-feira.