Ajuda Matemática

Enviado: **Ter Jan 28, 2014 20:47**

usando o teste da comparação para determinar se a série é convergente
$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{{sen}^{2}n}{{3}^{n}}$
minha dúvida é em relação a qual série eu consigo calcular

Enviado: **Ter Jan 28, 2014 23:54**

Lembre-se que função seno é limitada ,pois , $|sin(x)| \leq 1$ para todo

e em consequência

$|sin^2(x)| = sin^2(x) \leq 1$ o que implica $\frac{sin^2n}{3^n} \leq \frac{1}{3^n}$ .Daí vem ,

$\sum \frac{sin^2 n}{3^n} \leq \sum \frac{1}{3^n}$ ... Tente conluir ..

Uma proposição válida para séries de termos não-negativos : Se existem c >0

e $n_0 \in \mathbb{N}$ tal que $a_n \leq c \cdot b_n \forall n > n_0$ ,então a convergência de $\sum b_n$ implica a de $\sum a_n$ .

isso quer dizer que para tds comparação com função trigonométrica eu vou considerar o círculo trigonométrico como limitante? aliás para tg isso n valeria (corrija-me se estiver errada) eu prossegui e considerando que $\frac{1}{{3}^{n}}$ é série geométrica com $\left|r \right| < 1$ ela converge, como a superior converge a inferior convergirá também, acredito que esteja certo.

muito obrigada santhiago!!

Não há de quê ... Tudo que você disse acima está correto .Este exemplo concreto ,me levou pensar em um resultado que possa ser útil para caso mais gerais. O raciocínio é bem simples ,vejamos :

Dadas as sequências de números reais (a_n)

e

. Faz-se as seguintes hipóteses :

(1) A sequência (b_n)

é limitada (convergente ou não)

(2) A sequência (a_n b_n)

é de termos não-negativos .

(3) A série $\sum a_n$ é absolutamente convergente .

Afirmamos que uma série de termo geral que satisfaz (1) ,(2) e (3) é convergente . Uma possível demonstração :

Por (1)

, segue-se que existe M > 0

tal que $|b_n| \leq M$ para todo

natural . Multiplicando-se esta desigualdade por |a_n|

,temos

$|a_n| |b_n| = |a_n\cdot b_n| \leq |a_n| \cdot M$ . E assim pela hipótese (2) , obtemos

$a_n \cdot b_n \leq M \cdot |a_n|$ para todo

e consequentemente ,

$\sum a_n \cdot b_n \leq \sum M \cdot |a_n|$ . Daí de (3) resulta (pela proposição postei anteriormente) que a série $\sum a_nb_n$ converge .

Aplicações :

(a)

Se considerarmos a_n = 1/3^n

e

.As hipóteses (1) ,(2) e (3) são satisfeitas , logo a série de termo geral a_n b_n

converge .

(b)

Se considerarmos a_n = 1/3^n

e

.As hipóteses (1) e (3) são satisfeitas , entretanto a (2) não o é . Porém a série $\sum |a_n b_n|$ é convergente (porque???) , logo a série $\sum a_n b_n$ é absolutamente convergente e portanto ela é convergente .

Acredito que há resultados mais 'fortes' que este proposto cuja aplicabilidade seja superior , de qualquer forma espero que ajude .

n tenho certeza mas na tua primeira condição $({b}_{n})$ ser limitada n implicaria automaticamente que a série da soma de $({b}_{n})$ será convergente? tendo um limite superior por exemplo,
acho que entendi o que tu disse, basicamente uma relação entre condição e definição, com certeza ajudou :-D

n esperava uma explicação tão detalhada! obrigada novamente.

magellanicLMC escreveu:n tenho certeza mas na tua primeira condição $({b}_{n})$ ser limitada n implicaria automaticamente que a série da soma de $({b}_{n})$ será convergente? tendo um limite superior por exemplo,
acho que entendi o que tu disse, basicamente uma relação entre condição e definição, com certeza ajudou
n esperava uma explicação tão detalhada! obrigada novamente.

Na minha opinião seu primeiro argumento está incorreto . Vou responder com contra exemplo . Seja (b_n)

limitada inferiormente por

e superiormente por

. Da hipótese , segue

b_n > 1

para todo

. Logo o termo geral não és um infinitesimal pelo que a série diverge .

Para ser mais exato ... Basta por b_n := sin(1/n)/n +1

.É claro que (b_n) é limitada , mas seu limite não zero .Logo a série diverge ...

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