Não há de quê ... Tudo que você disse acima está correto .Este exemplo concreto ,me levou pensar em um resultado que possa ser útil para caso mais gerais. O raciocínio é bem simples ,vejamos :
Dadas as sequências de números reais
e
. Faz-se as seguintes hipóteses :
(1) A sequência
é limitada (convergente ou não)
(2) A sequência
é de termos não-negativos .
(3) A série
é absolutamente convergente .
Afirmamos que uma série de termo geral que satisfaz (1) ,(2) e (3) é convergente . Uma possível demonstração :
Por
, segue-se que existe
tal que
para todo
natural . Multiplicando-se esta desigualdade por
,temos
. E assim pela hipótese (2) , obtemos
para todo
e consequentemente ,
. Daí de (3) resulta (pela proposição postei anteriormente) que a série
converge .
Aplicações :
(a)
Se considerarmos
e
.As hipóteses (1) ,(2) e (3) são satisfeitas , logo a série de termo geral
converge .
(b)
Se considerarmos
e
.As hipóteses (1) e (3) são satisfeitas , entretanto a (2) não o é . Porém a série
é convergente (porque???) , logo a série
é absolutamente convergente e portanto ela é convergente .
Acredito que há resultados mais 'fortes' que este proposto cuja aplicabilidade seja superior , de qualquer forma espero que ajude .