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[SÉRIE] teste de comparação para convergência

[SÉRIE] teste de comparação para convergência

Mensagempor magellanicLMC » Ter Jan 28, 2014 20:47

usando o teste da comparação para determinar se a série é convergente
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{{sen}^{2}n}{{3}^{n}}
minha dúvida é em relação a qual série eu consigo calcular
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Re: [SÉRIE] teste de comparação para convergência

Mensagempor e8group » Ter Jan 28, 2014 23:54

Lembre-se que função seno é limitada ,pois , |sin(x)| \leq 1 para todo x e em consequência

|sin^2(x)| = sin^2(x) \leq 1 o que implica \frac{sin^2n}{3^n} \leq \frac{1}{3^n}.Daí vem ,

\sum \frac{sin^2 n}{3^n} \leq  \sum \frac{1}{3^n} ... Tente conluir ..

Uma proposição válida para séries de termos não-negativos : Se existem c >0 e n_0 \in \mathbb{N} tal que a_n \leq  c \cdot b_n   \forall n > n_0 ,então a convergência de \sum  b_n implica a de \sum a_n.
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Re: [SÉRIE] teste de comparação para convergência

Mensagempor magellanicLMC » Sáb Fev 01, 2014 16:56

isso quer dizer que para tds comparação com função trigonométrica eu vou considerar o círculo trigonométrico como limitante? aliás para tg isso n valeria (corrija-me se estiver errada) eu prossegui e considerando que \frac{1}{{3}^{n}} é série geométrica com \left|r \right| < 1 ela converge, como a superior converge a inferior convergirá também, acredito que esteja certo.

muito obrigada santhiago!!
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Re: [SÉRIE] teste de comparação para convergência

Mensagempor e8group » Sáb Fev 01, 2014 18:12

Não há de quê ... Tudo que você disse acima está correto .Este exemplo concreto ,me levou pensar em um resultado que possa ser útil para caso mais gerais. O raciocínio é bem simples ,vejamos :

Dadas as sequências de números reais (a_n) e (b_n) . Faz-se as seguintes hipóteses :

(1) A sequência (b_n) é limitada (convergente ou não)

(2) A sequência (a_n b_n) é de termos não-negativos .

(3) A série \sum a_n é absolutamente convergente .

Afirmamos que uma série de termo geral que satisfaz (1) ,(2) e (3) é convergente . Uma possível demonstração :

Por (1) , segue-se que existe M > 0 tal que |b_n| \leq M para todo n natural . Multiplicando-se esta desigualdade por |a_n| ,temos

|a_n| |b_n| = |a_n\cdot b_n|  \leq |a_n| \cdot M . E assim pela hipótese (2) , obtemos

a_n \cdot b_n \leq  M \cdot |a_n| para todo n e consequentemente ,

\sum   a_n \cdot b_n  \leq \sum M \cdot |a_n| . Daí de (3) resulta (pela proposição postei anteriormente) que a série \sum a_nb_n converge .

Aplicações :

(a)

Se considerarmos a_n = 1/3^n e b_n = sin^2(n) .As hipóteses (1) ,(2) e (3) são satisfeitas , logo a série de termo geral a_n b_n converge .

(b)

Se considerarmos a_n = 1/3^n e b_n = sin^3(n) .As hipóteses (1) e (3) são satisfeitas , entretanto a (2) não o é . Porém a série \sum |a_n b_n| é convergente (porque???) , logo a série \sum a_n b_n é absolutamente convergente e portanto ela é convergente .

Acredito que há resultados mais 'fortes' que este proposto cuja aplicabilidade seja superior , de qualquer forma espero que ajude .
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Re: [SÉRIE] teste de comparação para convergência

Mensagempor magellanicLMC » Sáb Fev 01, 2014 18:30

n tenho certeza mas na tua primeira condição ({b}_{n}) ser limitada n implicaria automaticamente que a série da soma de ({b}_{n}) será convergente? tendo um limite superior por exemplo,
acho que entendi o que tu disse, basicamente uma relação entre condição e definição, com certeza ajudou :-D
n esperava uma explicação tão detalhada! obrigada novamente.
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Re: [SÉRIE] teste de comparação para convergência

Mensagempor e8group » Sáb Fev 01, 2014 19:03

magellanicLMC escreveu:n tenho certeza mas na tua primeira condição ({b}_{n}) ser limitada n implicaria automaticamente que a série da soma de ({b}_{n}) será convergente? tendo um limite superior por exemplo,
acho que entendi o que tu disse, basicamente uma relação entre condição e definição, com certeza ajudou :-D
n esperava uma explicação tão detalhada! obrigada novamente.


Na minha opinião seu primeiro argumento está incorreto . Vou responder com contra exemplo . Seja (b_n) limitada inferiormente por 1 e superiormente por 2 . Da hipótese , segue

b_n > 1 para todo n . Logo o termo geral não és um infinitesimal pelo que a série diverge .

Para ser mais exato ... Basta por b_n :=  sin(1/n)/n +1 .É claro que (b_n) é limitada , mas seu limite não zero .Logo a série diverge ...
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Assunto: Exercicios de polinomios
Autor: shaft - Qua Jun 30, 2010 17:30

2x+5=\left(x+m\right)²-\left(x-n \right)²

Então, o exercicio pede para encontrar {m}^{3}-{n}^{3}.

Bom, tentei resolver a questão acima desenvolvendo as duas partes em ( )...Logo dps cheguei em um resultado q nao soube o q fazer mais.
Se vcs puderem ajudar !


Assunto: Exercicios de polinomios
Autor: Douglasm - Qua Jun 30, 2010 17:53

Bom, se desenvolvermos isso, encontramos:

2x+5 = 2x(m+n) + m^2-n^2

Para que os polinômios sejam iguais, seus respectivos coeficientes devem ser iguais (ax = bx ; ax² = bx², etc.):

2(m+n) = 2 \;\therefore\; m+n = 1

m^2-n^2 = 5 \;\therefore\; (m+n)(m-n) = 5 \;\therefore\; (m-n) = 5

Somando a primeira e a segunda equação:

2m = 6 \;\therefore\; m = 3 \;\mbox{consequentemente:}\; n=-2

Finalmente:

m^3 - n^3 = 27 + 8 = 35

Até a próxima.