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[Progressão geométrica] Soma dos n primeiros termos

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Mensagempor fff » Ter Jan 07, 2014 13:30

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Re: [Progressão geométrica] Soma dos n primeiros termos

Mensagempor fff » Ter Jan 07, 2014 17:45

fff escreveu:Imagem

Edit: Já resolvi :)
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Re: [Progressão geométrica] Soma dos n primeiros termos

Mensagempor Russman » Ter Jan 07, 2014 17:46

Uma progressão aritmética é uma sequência ordenada de números tal que o próximo é sempre o imediatamente anterior somado a uma constante. Assim, se a_n é o n-ésimo termo da sequência, a_1 o primeiro termo e r a constante de soma(chamada de razão da progressão aritmética), então

a_n = a_1 + (n-1)r.

Sem muita dificuldade conseguimos deduzir que a soma dos N primeiros termos dessa progressão a contar de a_1 é dada por

S_N = a_1+a_2+...+a_N = \frac{N}{2}(a_1 + a_N).

Na sua progressão, comparando com a forma geral e tomando \alpha = \log _2 \pi, temos

V_n = n \alpha \Rightarrow V_1=r= \alpha (substitua na forma geral V_1 = r= \alpha e confira.)

Portanto

S_N =\frac{N}{2}(a_1 + a_N) = \frac{N}{2}( \alpha + n \alpha) = \frac{\alpha}{2} (N^2+N)

Note que se \alpha = \log _2 então, pelas propriedades do logaritmo, temos

\alpha = \log _2 \pi \Rightarrow \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{2} \log _2 \pi = \log _2 \pi^{1/2} = \log _2 \sqrt{\pi}.

Resolvido.
Editado pela última vez por Russman em Ter Jan 07, 2014 17:50, em um total de 3 vezes.
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Re: [Progressão geométrica] Soma dos n primeiros termos

Mensagempor fff » Ter Jan 07, 2014 17:47

Russman escreveu:Uma progressão aritmética é uma sequência ordenada de números tal que o próximo é sempre o imediatamente anterior somado a uma constante. Assim, se a_n é o n-ésimo termo da sequência, a_1 o primeiro termo e r a constante de soma(chamada de razão da progressão aritmética), então

a_n = a_1 + (n-1)r.

Sem muita dificuldade conseguimos deduzir que a soma dos N primeiros termos dessa progressão a contar de a_1 é dada por

S_N = a_1+a_2+...+a_N = \frac{N}{2}(a_1 + a_N).

Na sua progressão, comparando com a forma geral e tomando \alpha = \log _2 i[/t\pex], temos

[tex]V_n = n \alpha \Rightarrow V_1=r= \alpha (substitua na forma geral V_1 = r=\alpha e confira.)

Portanto

S_N =\frac{N}{2}(a_1 + a_N) = \frac{N}{2}(\apha + n \alpha) = \frac{\alpha}{2}(N²+N)

Note que se \alpha = \log _2 i[/t\pex] então, pelas propriedades do logaritmo, temos

[tex]\alpha = \log _2 \pi \Rightarrow \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{2} \log _2 \pi = \log _2 \pi^{1/2} = \log _2 \sqrt{\pi}.

Resolvido.

Muito obrigada :)
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?