Sequências: principio de indução

por **Victor Gabriel** » Dom Abr 21, 2013 14:37

Usando o princípio da inducão finita, prove que as afirmações abaixa são verdadeira para todo natural n.
a) $1.2+2.3+3.4+...+n.(n+1)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}$
resp: para n=1 $2=\frac{1(1+1)(1+2)}{3}$ é verdade
estou mim atrapalhando para n=k+1
tem como mim ajudarem?

b) $1+4+7+...+(3n-2)=\frac{n(3n-1)}{2}$
resp: para n=1 $1=\frac{1(3.1-1)}{2}$ é verdade

mais para n=k+1, não sei fazer tem alguém que pode mim ajuda?

por **young_jedi** » Seg Abr 22, 2013 10:59

para k+1

$1.2+2.3+3.4+\dots+k(k+1)+(k+1)(k+2)=\frac{k(k+1)(k+2)}{3}+(k+1)(k+2)$

$=\frac{k(k+1)(k+2)+3(k+1)(k+2)}{3}$

$=\frac{(k+3)(k+2)(k+1)}{3}$

$=\frac{(k+1)((k+1)+1)((k+1)+2)}{3}$

tente fazer para o proxmio e comente as duvidas

por **Victor Gabriel** » Ter Abr 23, 2013 17:57

Young_jedi olha se eu acertei o item b)
como eu disse é verdadeiro para n=1.
passo intuitivo: se a formula é verdadeira para n=k, então deve se verdadeira para n=k+1.
hip intuitiva: para n=k
$1+4+7+...+(3k-2)=\frac{k(3k-1)}{2}$
somando (3k+1) nos dois membros terei:
$1+4+7+...+(3k-2)+(3k+1)=\frac{k(3k-1)}{2}+(3k+1)$
= $\frac{k(3k-1)+2(3k+1)}{2}$

estou certo ou não?

por **young_jedi** » Ter Abr 23, 2013 20:13

Até ai esta correto

voce tem que deixar na forma

$\frac{n(3n-1)}{2}$

sendo n=k+1

por **Victor Gabriel** » Ter Abr 23, 2013 22:03

young_jedi escreveu:Até ai esta correto

voce tem que deixar na forma

$\frac{n(3n-1)}{2}$

sendo n=k+1

yung_jedi eu já fiz para n=k+1, que da $\frac{k(3k-1)+2(3k+1)}{2}$ se não for esta a resposta, por favor mim demostre onde estou errando.

por **young_jedi** » Qua Abr 24, 2013 09:50

partindo da onde voce chegou

$\frac{k(3k-1)+2(3k+1)}{2}$

$\frac{3k^2+5k+2)}{2}$

$\frac{3k^2+3k-k+3k+3-1)}{2}$

$\frac{k(3(k+1)-1)+3(k+1)-1)}{2}$

$\frac{(k+1)(3(k+1)-1)}{2}$

agora esta na forma geral, e feita a demonstração