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Indução Matemática em Sequências

Indução Matemática em Sequências

Mensagempor AntonioFValleneto » Ter Dez 06, 2016 17:11

Esse é um exercício, onde tem que se verificar se são válidas as afirmações e estou com um pouco de dificuldade.

. Mostre utilizando inducao se as seguintes propriedades sao validas para
um n qualquer:
a) 1²+ 3² + 5² + ... + (2n + 1)² = (n + 1)(2n + 1)(2n + 3)/3

Onde n e inteiro e n >= 1
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Re: Indução Matemática em Sequências

Mensagempor DanielFerreira » Qui Dez 08, 2016 20:02

Olá Antônio, seja bem-vindo!

De acordo com o princípio da indução finita e o enunciado, a igualdade deverá ser verdadeira \mathsf{\forall n \in \mathbb{Z}^{*}_{+}}; ou seja, \mathsf{n = {1, 2, 3, 4,...}}.

Desse modo, a igualdade deverá ser válida para \underline{\mathsf{n = 1}} - elemento mínimo. Vejamos:

\\ \mathsf{1^2 + 3^2 + 5^2 + ... + (2n + 1)^2 = \frac{(n + 1)(2n + 1)(2n + 3)}{3}} \\\\\\ \mathsf{1^2 = \frac{(1 + 1)(2 \cdot 1 + 1)(2 \cdot 1 + 3)}{3}} \\\\\\ \mathsf{1 = \frac{2 \cdot 3 \cdot 5}{3}} \\\\\\ \mathsf{1 = 10}

Ora, como podes notar, isto é um absurdo. Portanto, a afirmativa é falsa!!
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Re: Indução Matemática em Sequências

Mensagempor AntonioFValleneto » Sáb Dez 10, 2016 11:27

Olá Daniel, obrigado,

Esse exercício foi dado como tarefa, falei com o professor, e tinha um erro: não é n >= 1, e sim n > 1, acho então que considera o 1² mas o n inicial é 3², assim se fizer aquele cálculo vai achar S = 10, que é 1² + 3². Se estou correto.

Abraço!
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Re: Indução Matemática em Sequências

Mensagempor DanielFerreira » Sáb Dez 10, 2016 17:40

Boa tarde, Antônio!

Há um erro na verificação que fiz (1º post).

Observei o seguinte: a lei de formação da soma é dada por \mathsf{(2n + 1)^2}; ora, o primeiro termo é determinado substituindo "n" por zero, veja:

\\ \mathsf{(2n + 1)^2 =} \\ \mathsf{(2 \cdot 0 + 1)^2 =} \\ \mathsf{(0 + 1)^2 =} \\ \mathsf{1^2}

E, se substituíres "n" por zero na expressão do lado direito da igualdade, perceberás que é verdadeira.

Por conseguinte, tomei n = 1. Daí,

\\ \mathsf{(2n + 1)^2 =} \\ \mathsf{(2 + 1)^2 =} \\ \mathsf{3^2}

Uma vez que, não faz mui sentido ter n = 0, aplicamos a seguinte estratégia: passe o termo \mathsf{1^2} para o outro lado da igualdade. Desse modo, poderemos ter \mathsf{n \geq 1}.

Tomemos como hipótese que a igualdade seja verdadeira para \mathsf{n = k}, com \mathsf{k \in \mathbb{Z}^*}; então,

\mathsf{3^2 + 5^2 + 7^2 + ... + (2k + 1)^2 = \frac{(k + 1) \cdot (2k + 1) \cdot (2k + 3)}{3} - 1^2}

Isto posto, sabemos do Princípio da Indução Finita (1ª forma) que a igualdade será válida se \underline{\mathsf{n = k + 1}}. Ou seja,

\mathsf{3^2 + ... + (2k + 1)^2 + (2 \cdot (k + 1) + 1)^2 = \frac{((k + 1) + 1) \cdot (2 \cdot (k + 1) + 1) \cdot (2 \cdot (k + 1) + 3)}{3} - 1}

\mathsf{3^2 + 5^2 + 7^2 + ... + (2k + 1)^2 + (2k + {3})^2 = \frac{(k + 2) \cdot (2k + 3) \cdot (2k + 5)}{3} - {1}}

É a tese de indução!!

Agora, devemos prová-la. Segue, da hipótese que:

\\ \mathsf{\underbrace{\mathsf{3^2 + 5^2 + 7^2 + ... + (2k + 1)^2}}_{hip\acute{o}tese} + (2k + 3)^2 =} \\\\\\ \mathsf{\left [ \frac{(k + 1)(2k + 1)(2k + 3)}{3} - 1 \right ] + (2k + 3)^2 =} \\\\\\ \mathsf{\frac{(k + 1)(2k + 1)(2k + 3)}{3} + (2k + 3)^2 - 1 =} \\\\\\ \mathsf{(2k + 3) \cdot \left [ \frac{(k + 1)(2k + 1)}{3} + (2k + 3) \right ] - 1 =}

\\ \mathsf{(2k + 3) \cdot \left ( \frac{2k^2 + k + 2k + 1 + 6k + 9}{3} \right ) - 1 =} \\\\\\ \mathsf{(2k + 3) \cdot \frac{2k^2 + 9k + 10}{3} - 1 =} \\\\\\ \mathsf{(2k + 3) \cdot \frac{2k^2 + 4k + 5k + 10}{3} - 1 =} \\\\\\ \mathsf{(2k + 3) \cdot \frac{2k(k + 2) + 5(k + 2)}{3} - 1 =}

\\ \mathsf{(2k + 3) \cdot \frac{(k + 2) \cdot \left [ 2k + 5 \right ]}{3} - 1 =} \\\\\\ \mathsf{\frac{(2k + 3) \cdot (k + 2) \cdot \left (2k + 5) \right ]}{3} - 1}

Ufa! Repare que isto (acima) corresponde à tese!

Como queríamos demonstrar!
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Re: Indução Matemática em Sequências

Mensagempor AntonioFValleneto » Seg Dez 12, 2016 09:30

Bom dia Daniel,

Muito interessante, e também muito obrigado, realmente é para um 'ufa' no final.

Abraço Antônio.
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(UNESP - 95) Seja L o Afixo de um Número complexo a=\sqrt{8}+ i em um sistema de coordenadas cartesianas xOy. Determine o número complexo b , de módulo igual a 1 , cujo afixo M pertence ao quarto quadrante e é tal que o ângulo LÔM é reto.


Assunto: Unesp - 95 Números Complexos
Autor: MarceloFantini - Qui Ago 05, 2010 17:27

Seja \alpha o ângulo entre o eixo horizontal e o afixo a. O triângulo é retângulo com catetos 1 e \sqrt{8}, tal que tg \alpha = \frac{1}{sqrt{8}}. Seja \theta o ângulo complementar. Então tg \theta = \sqrt{8}. Como \alpha + \theta = \frac{\pi}{2}, o ângulo que o afixo b formará com a horizontal será \theta, mas negativo pois tem de ser no quarto quadrante. Se b = x+yi, então \frac{y}{x} = \sqrt {8} \Rightarrow y = x\sqrt{8}. Como módulo é um: |b| = \sqrt { x^2 + y^2 } = 1 \Rightarrow x^2 + y^2 = 1 \Rightarrow x^2 + 8x^2 = 1 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = \frac{\sqrt{8}}{3}.

Logo, o afixo é b = \frac{1 + i\sqrt{8}}{3}.