Sequência recursiva da média de dois números

por **ant_dii** » Qua Jun 29, 2011 20:40

Pessoal, Boa noite,
Comecei aqui hoje, porque tenho uma questão que ta me complicando a vida. já fazem três dias batalhando e tentando e me parece ser bem simples mais ainda não encachei a uma idéia, aliás uma boa me ocorreu mas ainda não ajudou.
A questão é a seguinte:

A sequência $\{a_n\}$ é definida recursivamente pela equação $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n-2}}{2}$ para $n\geq 3$ , onde a_1

e

podem ser quaisquer numeros reais. Encontre $\lim_{n \rightarrow +\infty}a_n$ em termos de a_1

e

.

Em já tentei fazendo o seguinte (a fórmula que me foi mais útil até o momento mas daí em diante não consegui mais nada):

Dado que $a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n-2}}{2}$ e $a_{n+1}=\frac{a_{n}+a_{n-1}}{2}$ , pode-se fazer o seguinte:

$a_{n+1}-a_{n}=\frac{a_{n}+a_{n-1}}{2} - \frac{a_{n-1}+a_{n-2}}{2}= \frac{a_{n}-a_{n-2}}{2}$ .

Usando isso, temos que
$a_4-a_3=\frac{a_3-a_1}{2}=\frac{\frac{a_2+a_1}{2}-a_1}{2}=\frac{a_2 - a_1}{4}$

$a_5-a_4=\frac{a_4-a_2}{2}=\frac{\frac{a_3+a_2}{2}-a_2}{2}=\frac{\frac{a_2+a_1}{2}-a_2}{4}=\frac{a_1 - a_2}{8}$
$\vdots$
$a_{n+1}-a_{n}=(-1)^{n-1}\frac{(a_2-a_1)}{2^{n-1}}$

Foi onde parei. Antes deste resultado fiz muitas outras tentativas, mas o que me pareceu levar a alguma coisa é este resultado. Pórem, não sei o que fazer agora para chegar ao limite de a_n

pedido.

Sequência recursiva da média de dois números

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