Sequência recursiva da média de dois números

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Sequência recursiva da média de dois números

Mensagempor ant_dii » Qua Jun 29, 2011 20:40

Pessoal, Boa noite,
Comecei aqui hoje, porque tenho uma questão que ta me complicando a vida. já fazem três dias batalhando e tentando e me parece ser bem simples mais ainda não encachei a uma idéia, aliás uma boa me ocorreu mas ainda não ajudou.
A questão é a seguinte:

A sequência \{a_n\} é definida recursivamente pela equação a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n-2}}{2} para n\geq 3, onde a_1 e a_2 podem ser quaisquer numeros reais. Encontre \lim_{n \rightarrow +\infty}a_n em termos de a_1 e a_2.

Em já tentei fazendo o seguinte (a fórmula que me foi mais útil até o momento mas daí em diante não consegui mais nada):

Dado que a_n=\frac{a_{n-1}+a_{n-2}}{2} e a_{n+1}=\frac{a_{n}+a_{n-1}}{2}, pode-se fazer o seguinte:

a_{n+1}-a_{n}=\frac{a_{n}+a_{n-1}}{2} - \frac{a_{n-1}+a_{n-2}}{2}= \frac{a_{n}-a_{n-2}}{2}.

Usando isso, temos que
a_4-a_3=\frac{a_3-a_1}{2}=\frac{\frac{a_2+a_1}{2}-a_1}{2}=\frac{a_2 - a_1}{4}

a_5-a_4=\frac{a_4-a_2}{2}=\frac{\frac{a_3+a_2}{2}-a_2}{2}=\frac{\frac{a_2+a_1}{2}-a_2}{4}=\frac{a_1 - a_2}{8}
\vdots
a_{n+1}-a_{n}=(-1)^{n-1}\frac{(a_2-a_1)}{2^{n-1}}


Foi onde parei. Antes deste resultado fiz muitas outras tentativas, mas o que me pareceu levar a alguma coisa é este resultado. Pórem, não sei o que fazer agora para chegar ao limite de a_n pedido.
Só os loucos sabem...
ant_dii
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Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: zig - Sex Set 23, 2011 13:57

{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}

Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: Vennom - Sex Set 23, 2011 21:41

zig escreveu:{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}


Rpz, o negócio é o seguinte:
Quando você tem uma potência negativa, tu deve inverter a base dela. Por exemplo: {\frac{1}{4}}^{-1} = \frac{4}{1}

Então pense o seguinte: a fração geratriz de 0,05 é \frac{1}{20} , ou seja, 1 dividido por 20 é igual a 0.05 . Sendo assim, a função final é igual a vinte elevado à meio.
Veja: {0,05}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{1}{20}}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{20}{1}}^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{20}

A raiz quadrada de vinte, você acha fácil, né?

Espero ter ajudado.

Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:23

Nós podemos simplificar, um pouco, sqrt(20) da seguinte forma:

sqrt(20) = sqrt(4 . 5) = sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 sqrt(5).

É isso.

Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:24

Nós podemos simplificar, um pouco, \sqrt(20) da seguinte forma:

\sqrt(20) = \sqrt(4 . 5) = \sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 \sqrt(5).

É isso.

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