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Derivada Implícita

Derivada Implícita

Mensagempor ariclenesmelo » Ter Out 23, 2012 14:32

Um Navio deixa um Porto ao meio dia e desloca-se para o oeste com velocidade de 20 nos( um no e uma milha náutica por hora e 1 milha náutica eqüivale a aproximadamente 2km) Ao meio dia do dia seguinte um segundo navio deixa o mesmo Porto e viaja para noroeste a 15nos. Com que velocidade os navios se separam quando o segundo navio percorreu 90milhas náuticas.

Cheguei as seguintes conclusões x= 480 + 20t e y= 15t. Isso do ponto Inicial .. sei que quando o y percorrer 90 milhas o x estará há 600 milhas do Ponto Inicial.
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Re: Derivada Implícita

Mensagempor young_jedi » Ter Out 23, 2012 19:47

Temos que levar em consideraçãoa direção que cada um deles toma

se um sai para oeste e o outro para noroeste, e ambos partem em linha reta, o angulo entre a direção de ambos é 45º
portanto podemos construir um triangulo onde cada navio é um vertice e o porto é outro vertice, portanto um dos lados do triangulo é dado por x(t) e o outro é dado por y(t) essas duas equações voce ja determinou, voce quer determinar o outro lado do triangulo, que nos diz qual é a distancia entre os dois navios, recorrendo a lei dos cossenos podemos determinar por:

s^2=x^2+y^2-2.x.y.cos45^o

portanto

s(t)=\sqrt{x^2(t)+y^2(t)-2.x(t).y(t).\frac{\sqrt{2}}{2}}

s(t)=\sqrt{x^2(t)+y^2(t)-\sqrt{2}.x(t).y(t).}

a velocidade com a qual os navios se seraram é justamente a taxa de varia da distancia entre eles portano

v=\frac{ds(t)}{dt}

aplicando na função de s(t) teremos

\frac{ds(t)}{dt}=\frac{1}{2}.\frac{1}{\sqrt{x^2(t)+y^2(t)-\sqrt{2}.x(t).y(t)}}.\left(2x(t).\frac{dx}{dt}+2.y(t).\frac{dy}{dt}-\sqrt{2}y(t).\frac{dx}{dt}-\sqrt{2}.x(t).\frac{dy}{dt}\right)

substituindo pelas posições x(t) e y(t) que voce ja determinou e pelas velocidades \frac{dx}{dt} e \frac{dy}{dt} que voce tambem conhece se chega a velocidade de afastamento dos navios
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Re: Derivada Implícita

Mensagempor ariclenesmelo » Qui Out 25, 2012 21:54

f(x)=\frac{2*600*20+2*90*15-\sqrt{2}*600*15-\sqrt{2}*90*20}{2*\sqrt{600^2+90^2-\sqrt{2}*600*90}}
Cheguei nessa conta, sei que o resultado esta correto, porém estou com dificuldades de desenvolver.. Desculpe lhe incomodar e pq estou aprendendo sozinho, somente assistindo vídeo aulas.. desde já muito Obrigado.. O resultado da =10,57
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Re: Derivada Implícita

Mensagempor young_jedi » Qui Out 25, 2012 22:33

tranquilo
primeiro resolvendo as multiplicações

\frac{ds}{dt}=\frac{24000+2700-9000\sqrt{2}-1800\sqrt{2}}{2.\sqrt{360000+8100-54000\sqrt{2}}}

resolvendo as somas e subtrações possiveis

\frac{ds}{dt}=\frac{26700-10800\sqrt{2}}{2.\sqrt{368100-54000\sqrt{2}}}

substituino a raiz de dois por 1,414 aproximadamente

\frac{ds}{dt}=\frac{26700-15271,2}{2.\sqrt{368100-76356}}

resolvendo as subtrações

\frac{ds}{dt}=\frac{11428,8}{2.\sqrt{291844}}

extraindo a raiz

\frac{ds}{dt}=\frac{11428,8}{2.540,23}

resolvendo a divisão

\frac{ds}{dt}=10,57

espero que a primeira parte da derivada e da relação entre os pontos onde estão os navio e o porto tenha ficado claro.
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}