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[Integral Definida] Ex. do tipo "onde está o erro?"

[Integral Definida] Ex. do tipo "onde está o erro?"

Mensagempor Fabio Wanderley » Seg Out 22, 2012 23:15

Olá,

segue o exercício

Um aluno, ao calcular a integral \int_{-1}^{1}\sqrt[]{1+x^2}dx, raciocinou da seguinte forma: fazendo a mudança de variável u=1+x^2, os novos extremos de integração seriam iguais a 2 \left(x=-1 \rightarrow u=2 \right; x=1 \rightarrow u=2) e assim a integral obtida após a mudança de variável seria igual a zero e, portanto, \int_{-1}^{1}\sqrt[]{1+x^2} \ dx=0.

Onde está o erro?

-------------------

Bom, se os intervalos de integração são os mesmo, a integral não deveria ser igual a zero??

De qualquer forma, fazendo o que o aluno fez e derivando a variável "u", eu cheguei a isso:

\int_{2}^{2}\sqrt[]{u} \ 2x \ dx

O fato de ter a variável "u" com "x dx" no integrando deixa a resolução errada?
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Re: [Integral Definida] Ex. do tipo "onde está o erro?"

Mensagempor MarceloFantini » Ter Out 23, 2012 00:16

Sim, pois você não alterou completamente a variável de integração.
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Re: [Integral Definida] Ex. do tipo "onde está o erro?"

Mensagempor Fabio Wanderley » Ter Out 23, 2012 00:24

MarceloFantini escreveu:Sim, pois você não alterou completamente a variável de integração.


Marcelo,

Então o erro é exatamente esse: " ter a variável "u" com "x dx" no integrando"?
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}