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[Integral Definida] Ex. do tipo "onde está o erro?"

[Integral Definida] Ex. do tipo "onde está o erro?"

Mensagempor Fabio Wanderley » Seg Out 22, 2012 23:15

Olá,

segue o exercício

Um aluno, ao calcular a integral \int_{-1}^{1}\sqrt[]{1+x^2}dx, raciocinou da seguinte forma: fazendo a mudança de variável u=1+x^2, os novos extremos de integração seriam iguais a 2 \left(x=-1 \rightarrow u=2 \right; x=1 \rightarrow u=2) e assim a integral obtida após a mudança de variável seria igual a zero e, portanto, \int_{-1}^{1}\sqrt[]{1+x^2} \ dx=0.

Onde está o erro?

-------------------

Bom, se os intervalos de integração são os mesmo, a integral não deveria ser igual a zero??

De qualquer forma, fazendo o que o aluno fez e derivando a variável "u", eu cheguei a isso:

\int_{2}^{2}\sqrt[]{u} \ 2x \ dx

O fato de ter a variável "u" com "x dx" no integrando deixa a resolução errada?
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Re: [Integral Definida] Ex. do tipo "onde está o erro?"

Mensagempor MarceloFantini » Ter Out 23, 2012 00:16

Sim, pois você não alterou completamente a variável de integração.
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Re: [Integral Definida] Ex. do tipo "onde está o erro?"

Mensagempor Fabio Wanderley » Ter Out 23, 2012 00:24

MarceloFantini escreveu:Sim, pois você não alterou completamente a variável de integração.


Marcelo,

Então o erro é exatamente esse: " ter a variável "u" com "x dx" no integrando"?
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Assunto: cálculo de limites
Autor: Hansegon - Seg Ago 25, 2008 11:29

Bom dia.

Preciso de ajuda na solução deste problema, pois só chego ao resultado de 0 sobre 0.
Obrigado

\lim_{x\rightarrow-1} x³ +1/x²-1[/tex]


Assunto: cálculo de limites
Autor: Molina - Seg Ago 25, 2008 13:25

\lim_{x\rightarrow-1} \frac{{x}^{3}+1}{{x}^{2}-1}

Realmente se você jogar o -1 na equação dá 0 sobre 0.
Indeterminações deste tipo você pode resolver por L'Hôpital
que utiliza derivada.
Outro modo é transformar o numerador e/ou denominador
para que não continue dando indeterminado.

Dica: dividir o numerador e o denominador por algum valor é uma forma que normalmente dá certo. :y:

Caso ainda não tenha dado uma :idea:, avisa que eu resolvo.

Bom estudo!


Assunto: cálculo de limites
Autor: Guill - Dom Abr 08, 2012 16:03

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{x^3+1}{x^2-1}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x+1)(x-1)}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x^2-x+1)}{(x-1)}=\frac{-3}{2}