duvida em limite

por **CarolMarques** » Sáb Out 20, 2012 22:08

Não consigo calcular o limite abaixo:

lim $\lim_{x->0}\frac{ \sqrt[]{x+2} + \sqrt[]{x+6} - \sqrt[]{6} - \sqrt[]{2}}{x}$

Tentei multiplicar pelo conjugada mas não consigo chegar a lugar algum.Por favor me ajudem.

por **e8group** » Sáb Out 20, 2012 23:38

Conhece L'hospital (L'Hôpital ) ?

por **CarolMarques** » Dom Out 21, 2012 09:14

Eu queria resolver esse limite sem usar a regra de L'hospital

por **young_jedi** » Dom Out 21, 2012 11:25

separe os termos

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2}}{x}+\frac{\sqrt{x+6}-\sqrt{6}}{x}$

pode ser separados como soma dos limites

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2}}{x}+\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{x+6}-\sqrt{6}}{x}$

vamos resolver o primeiro limite

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2}}{x}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2}}{x}.\frac{\sqrt{x+2}+\sqrt{2}}{\sqrt{x+2}+\sqrt{2}}$

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{x+2-2}{x}.\frac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{2}}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{2}}$

$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}$

resolva o segundo limite e encontre o limite final

por **e8group** » Dom Out 21, 2012 12:19

Uma outra forma é fazer $\sqrt{x+2} = p$ .Donde ,

$\lim_{x\to 0} \frac{ \sqrt{x+2} +\sqrt{x+6} -(\sqrt{6} +\sqrt{2})}{x} =$

$\lim_{p\to \sqrt{2}} \frac{p +\sqrt{p^2+4} -(\sqrt{6} +\sqrt{2})}{p^2-2} =$

$\lim_{p\to \sqrt{2}} \left(\frac{p -\sqrt{2}}{(p-\sqrt{2})(p+\sqrt{2})} + \left[\frac{( \sqrt{p^2 +4}-\sqrt{6})(\sqrt{p^2 +4}+\sqrt{6})}{(p^2 -2)(\sqrt{p^2 +4}+\sqrt{6})}\right ] \right ) =$

$\lim_{p\to \sqrt{2}} \left(\frac{1}{(p+\sqrt{2})} + \frac{1}{(\sqrt{p^2 +4}+\sqrt{6})} \right ) = \frac{1}{2\sqrt{2}} + \frac{1}{2\sqrt{6}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \left(1 + \frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{6}} = \frac{3+\sqrt{3}}{6\sqrt{2}}$ .

Portanto ,

$\lim_{x\to 0} \frac{ \sqrt{x+2} +\sqrt{x+6} -(\sqrt{6} +\sqrt{2})}{x} = \frac{1}{2\sqrt{2}} + \frac{1}{2\sqrt{6}} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \left(1 + \frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{6}} = \frac{3+\sqrt{3}}{6\sqrt{2}}$

young_jedi , mesmo havendo uma indeterminação ,pode separar os limites por soma ? Não tem uma lei que diz que pode separar os limites se e somente os limites existem ? Fiquei em dúvida agora .