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Regra da Cadeia - Questão Medonha

Regra da Cadeia - Questão Medonha

Mensagempor iarapassos » Qua Out 10, 2012 23:51

Determine a derivada indicada.

f'(0), sendo x.f(8 - x)=f(x² - 9x + 8) + \sqrt[3]{2} e f(0) = -\frac{8}{3}.

Me dêem uma luz, essa questão está na seção de regra da cadeia, mas não sei como aplic´-la para chegar ao resultado.

Desde já grata!
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Re: Regra da Cadeia - Questão Medonha

Mensagempor MarceloFantini » Qui Out 11, 2012 01:20

Note que teremos f(0) quando x=8. Perceba também que podemos fatorar x^2 -9x+8 em (x-8)(x-1).

Derivando dos dois lados, teremos que o lado esquerdo será f(8-x) + x (- f'(8-x) ), e o lado direito f'((x-8)(x-1)) \cdot (2x -9).

Substituindo x=8 segue

f(0) -8f'(0) = 7 f'(0) \leadsto 15 f'(0) = f(0) \leadsto f'(0) = \frac{f(0)}{15} = \frac{-8}{45}.

Para derivar f(8-x) e f(x^2 -9x +8) você tem que observar a seguinte composição de funções: h(x) = 8-x, g(x) = x^2 -9x +8 com f, assim f(8-x) = (f \circ h)(x) = f(h(x)) e f(x^2 -9x+8) = (f \circ g)(x) = f(g(x)).

Aplicando a regra da cadeia, (f \circ h) ' (x) = f'(h(x)) \cdot h'(x) e (f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x).
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Re: Regra da Cadeia - Questão Medonha

Mensagempor TheKyabu » Seg Out 29, 2012 19:31

Ow Marcelo to com uma duvida,por que o sinal de manos nessa etapa?
f(8-x) + x (- f'(8-x) )
Vlw,
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Re: Regra da Cadeia - Questão Medonha

Mensagempor MarceloFantini » Seg Out 29, 2012 22:07

Você não prestou atenção nos cálculo do final. Lembre-se que f(8-x) = f(h(x)), onde h(x) = 8-x. Aplicando a regra da cadeia, você terá

(f(8-x))' = (f(h(x)))' = f'(h(x)) \cdot h'(x) = f'(8-x) \cdot (8-x)' = f'(8-x) \cdot (-1).
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Re: Regra da Cadeia - Questão Medonha

Mensagempor TheKyabu » Seg Out 29, 2012 23:29

Vlw brow,eu dei mole...
abraço
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}