[Limite Trigonométrico] Não consigo começar a resolver

por **dileivas** » Ter Out 09, 2012 19:30

O limite é o seguinte:

$\lim_{x\rightarrow -2} \frac{tan (\pi x)}{x+2}$

Pensei em multiplicar em cima e embaixo por pi*x pra tentar cair num limite fundamental, mas não bate com a resposta (que seria pi). Deve ser porque x não está tendendo a zero, não configurando um limite fundamental.

Alguém poderia me ajudar?

Obrigado!

por **dileivas** » Sex Out 12, 2012 14:43

ninguém? =/

por **young_jedi** » Sex Out 12, 2012 14:47

Amigo não sei se voce ja estudou derivada e Teorema de L'hospital

esse limite ai pode ser resolvido por esse metodo, comente ai qualquer cosia

por **LuizAquino** » Sex Out 12, 2012 15:32

dileivas escreveu:O limite é o seguinte:

$\lim_{x\rightarrow -2} \frac{tan (\pi x)}{x+2}$

Pensei em multiplicar em cima e embaixo por pi*x pra tentar cair num limite fundamental, mas não bate com a resposta (que seria pi). Deve ser porque x não está tendendo a zero, não configurando um limite fundamental.

Alguém poderia me ajudar?

young_jedi escreveu:Amigo não sei se voce ja estudou derivada e Teorema de L'hospital

esse limite ai pode ser resolvido por esse metodo, comente ai qualquer cosia

Para resolver esse exercício sem usar a Regra de L'Hospital, podemos proceder como indicado abaixo.

Fazendo a substituição de variáveis u = x + 2

, como temos $x\to -2$ sabemos que $u \to 0$ .

Ficamos então com:

$\lim_{x\to -2} \frac{\textrm{tg}\, (\pi x)}{x+2} = \lim_{u\to 0} \frac{\textrm{tg}\, (\pi u - 2\pi)}{u}$

Lembrando da definição de tangente, podemos ainda escrever que:

$= \lim_{u\to 0} \frac{\textrm{sen}\, (\pi u - 2\pi)}{u\cos (\pi u - 2\pi)}$

Aplicando então a identidade trigonométrica $\textrm{sen}\,(\alpha - \beta) = \textrm{sen}\,\alpha\cos \beta - \,\textrm{sen}\,\beta\cos \alpha$ , temos que:

$= \lim_{u\to 0} \frac{\textrm{sen}\, \pi u}{u\cos (\pi u - 2\pi)}$

Agora tente concluir o exercício a partir daí.

por **dileivas** » Sex Out 12, 2012 17:12

Meu resultado ainda está errado... teria que dar $\pi$ . O que estou errando?

$\lim_{u\to 0} \frac{\textrm{sen}\, \pi u}{u\cos (\pi u - 2\pi)} *\frac{\pi}{\pi} = \lim_{u\to 0} \frac{\textrm{sen}\, \pi u}{\pi u} *\lim_{u\to 0} \frac{1}{\cos (\pi u - 2\pi)} = \lim_{u\to 0} \frac{1}{\cos (\pi u - 2\pi)}$ ,

Tendo que $\lim_{u\to 0} \frac{\textrm{sen}\, \pi u}{\pi u}$ é um limite fundamental, que é igual a 1.

Como $u\rightarrow 0$ temos

$\frac{1}{\cos (- 2\pi)} = 1$

Não poderei aplicar o Teorema de L'hospital na prova 1 ainda, por isso tenho que resolver esse limite de outra forma...

Obrigado pela ajuda!

por **young_jedi** » Sex Out 12, 2012 17:20

voce multiplica e divide a equação por $\pi$ , para chegar ao limite fundamental até ai esta certo,
mais em sua proxima passgem matematica voce "desaparece " com o $\pi$ que esta em cima, acho que voce se esqueceu dele por isso o resultado não da certo.

por **dileivas** » Sex Out 12, 2012 17:33

Apesar de não saber o que errei na resposta anterior, consegui chegar no resultado de outra forma:

$\lim_{u\to 0} \frac{\textrm{sen}\, \pi u}{u\cos (\pi u - 2\pi)}$

Se aplicarmos a identidade trigonométrica $\cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta$ , teremos

$\lim_{u\to 0} \frac{\textrm{sen}\, (\pi u)}{u\cos (\pi u)} *\frac{\pi}{\pi} = \lim_{u\to 0} \frac{\textrm{sen}\, (\pi u)}{\pi u} * \lim_{u\to 0} \frac{\pi}{\cos (\pi u)}$

Como $\lim_{u\to 0} \frac{\textrm{sen}\, (\pi u)}{\pi u}$ é um limite fundamental, que é igual a 1, resta

$\lim_{u\to 0} \frac{\pi}{\cos (\pi u)}$

Como $u \rightarrow 0$ , temos

$\frac{\pi}{\cos (0)} = \pi$

Está correto!?

Obrigado! =D

por **dileivas** » Sex Out 12, 2012 17:36

young_jedi escreveu:voce multiplica e divide a equação por $\pi$ , para chegar ao limite fundamental até ai esta certo,
mais em sua proxima passgem matematica voce "desaparece " com o $\pi$ que esta em cima, acho que voce se esqueceu dele por isso o resultado não da certo.

Aaaah! Verdade! Só tinha esquecido do $\pi$ ! Daria certo também, foi falta de atenção...

Obrigado! Ajudaram muito!