[Otimização ] Dúvidas .

por **e8group** » Dom Ago 26, 2012 15:00

Um pedaço de fio de 10m de comprimento é cortado em duas partes. Uma parte é dobrada no formato de um quadrado, ao passo que a outra é dobrada na forma de um triângulo equilátero. Como deve ser cortado o fio de forma que a área total englobada seja máxima?

Por favor ,verifique o erro em relação a solução . Minha modelagem matemática tornou uma função quadrática com a concavidade voltada para cima ,ou seja o ponto crítico é mínimo logo a área será mímina .

Solução :

$\begin{cases}z +w = 10 cm \\ A_q = \frac{z^2}{16} \\ A_t = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot\frac{w^2}{9}\end{cases}$

$A(w,z) = \frac{z^2}{16} + \frac{w^2}{36} \implies A(w) = \frac{(10-w)^2}{16} + \frac{w^2}{36}$ .

Parei por aqui . Há de notar que teremos ponto de mínimo .

Agradeço quem ajudar .

por **e8group** » Ter Ago 28, 2012 11:02

Up ! ,

Alguém tem alguma opinião sobre o exercício acima ?

Desde já agradeço .

por **LuizAquino** » Qua Ago 29, 2012 08:04

santhiago escreveu:Um pedaço de fio de 10m de comprimento é cortado em duas partes. Uma parte é dobrada no formato de um quadrado, ao passo que a outra é dobrada na forma de um triângulo equilátero. Como deve ser cortado o fio de forma que a área total englobada seja máxima?

Por favor ,verifique o erro em relação a solução . Minha modelagem matemática tornou uma função quadrática com a concavidade voltada para cima ,ou seja o ponto crítico é mínimo logo a área será mímina .

Solução :

$\begin{cases}z +w = 10 cm \\ A_q = \frac{z^2}{16} \\ A_t = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot\frac{w^2}{9}\end{cases}$

$A(w,z) = \frac{z^2}{16} + \frac{w^2}{36} \implies A(w) = \frac{(10-w)^2}{16} + \frac{w^2}{36}$ .

Parei por aqui . Há de notar que teremos ponto de mínimo .

Em primeiro lugar, reveja suas contas pois a área de uma triângulo equilátero de lado l é dada por $A = \frac{l^2\sqrt{3}}{4}$ . Reveja também a expressão que você determinou para A(w).

Em segundo lugar, lembre-se que w por variar apenas no intervalo [0, 10]. Sendo assim, mesmo que A(w) represente uma parábola com concavidade para cima, ainda assim podemos ter um valor máximo para ela pois w está restringido ao intervalo [0, 10].

Por fim, você deve considerar a possibilidade do enunciado do exercício estar errado, sendo que na verdade a ideia original fosse calcular a área mínima.

Observação

Vide o tópico abaixo para um exercício semelhante:

Problemas de derivadas
viewtopic.php?f=120&t=6449

Note como é importante fazer uma busca no fórum antes de postar um novo tópico.

por **e8group** » Qua Ago 29, 2012 10:49

Primeiramente agradeço pela atenção .Entretanto ,gostaria de ressaltar alguns aspectos .

1) Eu fiz uma busca ,não apenas neste fórum ,mas também pelo "google " .Achei diversos exercícios análogos que obviamente dariam uma diretriz para este . Mesmo assim ,eu queria obter novas opiniões afim de chegar em uma conclusão coerente e verificar uma possibilidade de erro quanto a minha solução .

2) Área do Triângulo equilátero é ,

$A = \frac{sin(60) \cdto l^2}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4} l^2$ .

Em contexto , eu definir o lado do triângulo equilátero como $\frac{w}{3}$ devido aos dados do enunciado . Sendo assim , teremos que $A = \frac{\sqrt{3}}{36} l^2$ .Certo ?

EDITADO :

OBS.: Verifiquei este tópico novamente e constatei que realmente há erros . Peço desculpas ,foi falta de atenção minha quanto o uso do " Latex" . Em breve postarei minha solução completa .

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