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Integral dupla (módulo entre os limites de integração)

Integral dupla (módulo entre os limites de integração)

Mensagempor rubenesantos » Dom Ago 19, 2012 21:18

Olá pessoal, boa noite, estou resolvendo uma lista de exercícios e me deparei com uma questão que está me dando um pouco de dor de cabeça:

f(x)=\int_{-1}^{1} \int_{-1}^{\left|x \right|} \left(x^2 - 2y^2 \right)dydx

Resolvo a primeira parte e aí fico com o seguinte:

f(x)=\int_{-1}^{1} \left(x^2.\left|x \right|+x^2-\frac{2.\left|x \right|^3-2}{3} \right)dx

A partir daí começam os problemas pois estou com dificuldades para resolver essas integrais que envolvem módulo. Não consigo chegar ao resultado do gabarito que é -1/2. Inclusive já procurei aqui no fórum sobre resoluções de integrais que envolvem módulo, mas mesmo com as instruções que encontrei não estou chegando na resposta correta.

Se alguém puder me ajudar eu agradeço.

Abraço.
rubenesantos
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Re: Integral dupla (módulo entre os limites de integração)

Mensagempor LuizAquino » Qui Ago 23, 2012 18:46

rubenesantos escreveu:Olá pessoal, boa noite, estou resolvendo uma lista de exercícios e me deparei com uma questão que está me dando um pouco de dor de cabeça:

f(x)=\int_{-1}^{1} \int_{-1}^{\left|x \right|} \left(x^2 - 2y^2 \right)dydx

Resolvo a primeira parte e aí fico com o seguinte:

f(x)=\int_{-1}^{1} \left(x^2.\left|x \right|+x^2-\frac{2.\left|x \right|^3-2}{3} \right)dx

A partir daí começam os problemas pois estou com dificuldades para resolver essas integrais que envolvem módulo. Não consigo chegar ao resultado do gabarito que é -1/2. Inclusive já procurei aqui no fórum sobre resoluções de integrais que envolvem módulo, mas mesmo com as instruções que encontrei não estou chegando na resposta correta.

Se alguém puder me ajudar eu agradeço.


Reveja suas contas para a primeira parte, pois o correto seria:

\int_{-1}^{1}x^2\left|x \right|+x^2 - \frac{2\left|x \right|^3 + 2}{3}\,dx

Agora lembre-se da definição de módulo:

|x| = \begin{cases} x,\,x\geq 0 \\ -x ,\,x < 0 \end{cases}

Sendo assim, será necessário separar a integral em duas:

\int_{-1}^{0} -x^3 + x^2 - \frac{-2x^3 + 2}{3} \,dx + \int_{0}^{1} x^3 + x^2 - \frac{2x^3 + 2}{3} \,dx

Agora tente continuar a partir daí.
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Re: Integral dupla (módulo entre os limites de integração)

Mensagempor rubenesantos » Qui Ago 23, 2012 19:29

Luiz, valeu.

Isso mesmo, você está certo, naquela parte rola um jogo de sinal.

Eu construí o gráfico daí ficou moleza perceber que eu deveria dividir a integral, exatamente como você falou. Ainda tenho dificuldade para fazer isso sem conhecer o gráfico da função.

Mas, valeu a dica. Deu certinho! hehe
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}