Integral dupla (módulo entre os limites de integração)

por **rubenesantos** » Dom Ago 19, 2012 21:18

Olá pessoal, boa noite, estou resolvendo uma lista de exercícios e me deparei com uma questão que está me dando um pouco de dor de cabeça:

$f(x)=\int_{-1}^{1} \int_{-1}^{\left|x \right|} \left(x^2 - 2y^2 \right)dydx$

Resolvo a primeira parte e aí fico com o seguinte:

$f(x)=\int_{-1}^{1} \left(x^2.\left|x \right|+x^2-\frac{2.\left|x \right|^3-2}{3} \right)dx$

A partir daí começam os problemas pois estou com dificuldades para resolver essas integrais que envolvem módulo. Não consigo chegar ao resultado do gabarito que é -1/2. Inclusive já procurei aqui no fórum sobre resoluções de integrais que envolvem módulo, mas mesmo com as instruções que encontrei não estou chegando na resposta correta.

Se alguém puder me ajudar eu agradeço.

Abraço.

por **LuizAquino** » Qui Ago 23, 2012 18:46

rubenesantos escreveu:Olá pessoal, boa noite, estou resolvendo uma lista de exercícios e me deparei com uma questão que está me dando um pouco de dor de cabeça:

$f(x)=\int_{-1}^{1} \int_{-1}^{\left|x \right|} \left(x^2 - 2y^2 \right)dydx$

Resolvo a primeira parte e aí fico com o seguinte:

$f(x)=\int_{-1}^{1} \left(x^2.\left|x \right|+x^2-\frac{2.\left|x \right|^3-2}{3} \right)dx$

A partir daí começam os problemas pois estou com dificuldades para resolver essas integrais que envolvem módulo. Não consigo chegar ao resultado do gabarito que é -1/2. Inclusive já procurei aqui no fórum sobre resoluções de integrais que envolvem módulo, mas mesmo com as instruções que encontrei não estou chegando na resposta correta.

Se alguém puder me ajudar eu agradeço.

Reveja suas contas para a primeira parte, pois o correto seria:

$\int_{-1}^{1}x^2\left|x \right|+x^2 - \frac{2\left|x \right|^3 + 2}{3}\,dx$

Agora lembre-se da definição de módulo:

$|x| = \begin{cases} x,\,x\geq 0 \\ -x ,\,x < 0 \end{cases}$

Sendo assim, será necessário separar a integral em duas:

$\int_{-1}^{0} -x^3 + x^2 - \frac{-2x^3 + 2}{3} \,dx + \int_{0}^{1} x^3 + x^2 - \frac{2x^3 + 2}{3} \,dx$

Agora tente continuar a partir daí.

por **rubenesantos** » Qui Ago 23, 2012 19:29

Luiz, valeu.

Isso mesmo, você está certo, naquela parte rola um jogo de sinal.

Eu construí o gráfico daí ficou moleza perceber que eu deveria dividir a integral, exatamente como você falou. Ainda tenho dificuldade para fazer isso sem conhecer o gráfico da função.

Mas, valeu a dica. Deu certinho! hehe