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Integral Dupla e inversao

Integral Dupla e inversao

Mensagempor ivoski » Ter Ago 14, 2012 18:12

Quando por uma integral dupla se calculou o volume do solido sob a surficie z = f(x,y), e acima da regiao D do plano xy, obteve-se a seguinte soma de integrais repetidas:
V =\int_{1}^2 \int_{x}^{x^3} f(x,y)\ dy dx \ + \int_{2}^8 \int_{x}^8 f(x,y)\ dy dx

a) Esboce a regiao D e exprima V por uma integral repetida na ordem de intergração invertida.

b) Calcule V para f(x,y) = e^y \left(\frac{x}{y} \right)^{1/2}
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Re: Integral Dupla e inversao

Mensagempor LuizAquino » Qui Ago 23, 2012 18:32

ivoski escreveu:Quando por uma integral dupla se calculou o volume do solido sob a surficie z = f(x,y), e acima da regiao D do plano xy, obteve-se a seguinte soma de integrais repetidas:
V =\int_{1}^2 \int_{x}^{x^3} f(x,y)\ dy dx \ + \int_{2}^8 \int_{x}^8 f(x,y)\ dy dx

a) Esboce a regiao D e exprima V por uma integral repetida na ordem de intergração invertida.

b) Calcule V para f(x,y) = e^y \left(\frac{x}{y} \right)^{1/2}


Vejamos o item a). A figura abaixo ilustra a região D.

figura.png
figura.png (36.07 KiB) Exibido 2140 vezes


Veja que todo o trabalho se resumiu a determinar a região delimitada pelos gráficos de f(x) = x^3 , g(x) = x e h(x) = 8 .

Analisando agora na ordem de integração invertida, precisamos escrever D no formato:

D = \{(x,\,y)\,|\,a\leq y \leq b ,\, f_1(y)\leq x \leq f_2(y)\}

Analisando a figura acima, note que 1\leq y \leq 8 . Além disso, note que x está delimitado a esquerda pelo gráfico de f_1(y) = \sqrt[3]{y} . Por outro lado, x está delimitado a direita pelo gráfico de f_2(y) = y . Desse modo, temos que:

D = \{(x,\,y)\,|\,1\leq y \leq 8 ,\, \sqrt[3]{y}\leq x \leq y\}

Podemos então escrever que:

V = \int_1^8\int_{\sqrt[3]{y}}^{y} f(x,\,y)\,dx\,dy

Agora tente resolver o item b).
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Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: zig - Sex Set 23, 2011 13:57

{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: Vennom - Sex Set 23, 2011 21:41

zig escreveu:{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[5]}{(0,05)}^{-\frac{1}{2}}=\frac{10}{\sqrt[2]{5}}


Rpz, o negócio é o seguinte:
Quando você tem uma potência negativa, tu deve inverter a base dela. Por exemplo: {\frac{1}{4}}^{-1} = \frac{4}{1}

Então pense o seguinte: a fração geratriz de 0,05 é \frac{1}{20} , ou seja, 1 dividido por 20 é igual a 0.05 . Sendo assim, a função final é igual a vinte elevado à meio.
Veja: {0,05}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{1}{20}}^{-\frac{1}{2}} = {\frac{20}{1}}^{\frac{1}{2}} = \sqrt[2]{20}

A raiz quadrada de vinte, você acha fácil, né?

Espero ter ajudado.


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:23

Nós podemos simplificar, um pouco, sqrt(20) da seguinte forma:

sqrt(20) = sqrt(4 . 5) = sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 sqrt(5).

É isso.


Assunto: simplifiquei e achei...está certo?????????????
Autor: fraol - Dom Dez 11, 2011 20:24

Nós podemos simplificar, um pouco, \sqrt(20) da seguinte forma:

\sqrt(20) = \sqrt(4 . 5) = \sqrt( 2^2 . 5 ) = 2 \sqrt(5).

É isso.