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Integral Dupla e inversao

Integral Dupla e inversao

Mensagempor ivoski » Ter Ago 14, 2012 18:12

Quando por uma integral dupla se calculou o volume do solido sob a surficie z = f(x,y), e acima da regiao D do plano xy, obteve-se a seguinte soma de integrais repetidas:
V =\int_{1}^2 \int_{x}^{x^3} f(x,y)\ dy dx \ + \int_{2}^8 \int_{x}^8 f(x,y)\ dy dx

a) Esboce a regiao D e exprima V por uma integral repetida na ordem de intergração invertida.

b) Calcule V para f(x,y) = e^y \left(\frac{x}{y} \right)^{1/2}
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Re: Integral Dupla e inversao

Mensagempor LuizAquino » Qui Ago 23, 2012 18:32

ivoski escreveu:Quando por uma integral dupla se calculou o volume do solido sob a surficie z = f(x,y), e acima da regiao D do plano xy, obteve-se a seguinte soma de integrais repetidas:
V =\int_{1}^2 \int_{x}^{x^3} f(x,y)\ dy dx \ + \int_{2}^8 \int_{x}^8 f(x,y)\ dy dx

a) Esboce a regiao D e exprima V por uma integral repetida na ordem de intergração invertida.

b) Calcule V para f(x,y) = e^y \left(\frac{x}{y} \right)^{1/2}


Vejamos o item a). A figura abaixo ilustra a região D.

figura.png
figura.png (36.07 KiB) Exibido 1064 vezes


Veja que todo o trabalho se resumiu a determinar a região delimitada pelos gráficos de f(x) = x^3 , g(x) = x e h(x) = 8 .

Analisando agora na ordem de integração invertida, precisamos escrever D no formato:

D = \{(x,\,y)\,|\,a\leq y \leq b ,\, f_1(y)\leq x \leq f_2(y)\}

Analisando a figura acima, note que 1\leq y \leq 8 . Além disso, note que x está delimitado a esquerda pelo gráfico de f_1(y) = \sqrt[3]{y} . Por outro lado, x está delimitado a direita pelo gráfico de f_2(y) = y . Desse modo, temos que:

D = \{(x,\,y)\,|\,1\leq y \leq 8 ,\, \sqrt[3]{y}\leq x \leq y\}

Podemos então escrever que:

V = \int_1^8\int_{\sqrt[3]{y}}^{y} f(x,\,y)\,dx\,dy

Agora tente resolver o item b).
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}