Integral tripla

por **DanielFerreira** » Sáb Jul 07, 2012 13:00

danjr5 escreveu:Calcule $\int\int\int_{B}^{}zdxdydz$ onde é o conjunto $1 \leq x^2 + y^2 + z^2 \leq 4, z \geq 0$

Fiz assim:

$x^2 + y^2 + z^2 - 1 = 0 ===> z = \sqrt{1 - x^2 - y^2}$

$x^2 + y^2 + z^2 = 4 =====> z = \sqrt{4 - x^2 - y^2}$

Então, $\sqrt{1 - x^2 - y^2} \leq z \leq \sqrt{4 - x^2 - y^2}$

Fazendo z = 0

, terei

e

Daí,
$x = r.cos\theta$
$y = r.sen\theta$

$1 \leq r \leq 2$
$0 \leq \theta \leq 2\pi$

$\int_{}^{}\int_{B}^{}\int_{\sqrt[]{4 - x^2 - y^2}}^{\sqrt[]{1 - x^2 - y^2}}zdzdxdy =$

$\frac{1}{2}\int_{}^{}\int_{B}^{}5 - 2(x^2 + y^2)dxdy =$

$\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{2}(5 - 2r^2)rdrd\theta =$

$2\pi$

Mas, de acordo com o livro a resposta é $\frac{15\pi}{4}$

Tentei também por mudança esférica e pude concluir que tenho grandes dificuldades em determinar o intervalo, nesse caso - R^3

Desde já agradeço.

Daniel F.

por **MarceloFantini** » Dom Jul 08, 2012 00:03

A simetria do problema é esférica, portanto é conveniente usar coordenadas esféricas. Usaremos a seguinte parametrização:

$\begin{cases} x = r \sin \phi \cos \theta, \\ y = r \sin \phi \sin \theta, \\ z = r \cos \phi. \end{cases}$

Sabemos que $1 \leq x^2 +y^2 +z^2 \leq 4$ , de onde tiramos $1 \leq r^2 \leq 4$ e obtemos os limites para o raio, $1 \leq r \leq 2.$

Como $z \geq 0$ então $r \cos \phi \geq 0$ , de onde $\phi \in \left[ 0, \frac{\pi}{2} \right]$ . O intervalo para o outro ângulo é $0 \leq \theta \leq 2 \pi.$ Daí, substituindo vem

$\iiint_B z \, \textrm{d}V = \int_1^2 \int_0^{2 \pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} r \cos \phi \left| \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta, \phi)} \right| \, \textrm{d} r \, \textrm{d} \theta \, \textrm{d} \phi$

$= \int_1^2 \int_0^{2 \pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} r \cos \phi r^2 \sin \phi \, \textrm{d} r \, \textrm{d} \theta \, \textrm{d} \phi = \int_1^2 r^3 \, \textrm{d} r \int_0^{2 \pi} \, \textrm{d} \theta \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin \phi \cos \phi \, \textrm{d} \phi$

$= \frac{15 \pi}{4}.$

Para enxergar os ângulos, clique aqui.