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Integral tripla

Integral tripla

Mensagempor DanielFerreira » Sáb Jul 07, 2012 13:00

danjr5 escreveu:Calcule \int\int\int_{B}^{}zdxdydz onde B é o conjunto 1 \leq x^2 + y^2 + z^2 \leq 4, z \geq 0


Fiz assim:

x^2 + y^2 + z^2 - 1 = 0 ===> z = \sqrt{1 - x^2 - y^2}

x^2 + y^2 + z^2 = 4 =====> z = \sqrt{4 - x^2 - y^2}

Então, \sqrt{1 - x^2 - y^2} \leq z \leq \sqrt{4 - x^2 - y^2}

Fazendo z = 0, terei x^2 + y^2 - 1 = 0 e x^2 + y^2 = 4

Daí,
x = r.cos\theta
y = r.sen\theta

1 \leq r \leq 2
0 \leq \theta \leq 2\pi


\int_{}^{}\int_{B}^{}\int_{\sqrt[]{4 - x^2 - y^2}}^{\sqrt[]{1 - x^2 - y^2}}zdzdxdy =


\frac{1}{2}\int_{}^{}\int_{B}^{}5 - 2(x^2 + y^2)dxdy =


\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi}\int_{1}^{2}(5 - 2r^2)rdrd\theta =


2\pi

Mas, de acordo com o livro a resposta é \frac{15\pi}{4}

Tentei também por mudança esférica e pude concluir que tenho grandes dificuldades em determinar o intervalo, nesse caso - R^3

Desde já agradeço.

Daniel F.
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Re: Integral tripla

Mensagempor MarceloFantini » Dom Jul 08, 2012 00:03

A simetria do problema é esférica, portanto é conveniente usar coordenadas esféricas. Usaremos a seguinte parametrização:

\begin{cases} x = r \sin \phi \cos \theta, \\ y = r \sin \phi \sin \theta, \\ z = r \cos \phi. \end{cases}

Sabemos que 1 \leq x^2 +y^2 +z^2 \leq 4, de onde tiramos 1 \leq r^2 \leq 4 e obtemos os limites para o raio, 1 \leq r \leq 2.

Como z \geq 0 então r \cos \phi \geq 0, de onde \phi \in \left[ 0, \frac{\pi}{2} \right]. O intervalo para o outro ângulo é 0 \leq \theta \leq 2 \pi. Daí, substituindo vem

\iiint_B z \, \textrm{d}V = \int_1^2 \int_0^{2 \pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} r \cos \phi \left| \frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta, \phi)} \right| \, \textrm{d} r \, \textrm{d} \theta \, \textrm{d} \phi

= \int_1^2 \int_0^{2 \pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} r \cos \phi r^2 \sin \phi \, \textrm{d} r \, \textrm{d} \theta \, \textrm{d} \phi = \int_1^2 r^3 \, \textrm{d} r \int_0^{2 \pi} \, \textrm{d} \theta \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin \phi \cos \phi \, \textrm{d} \phi

= \frac{15 \pi}{4}.

Para enxergar os ângulos, clique aqui.
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Re: Integral tripla

Mensagempor DanielFerreira » Dom Jul 08, 2012 13:01

Olá Marcelo Fantini,
bom dia!
Depois dessa explicação acho que não terei mais problemas com os intervalos.

Muito obrigado!!

Daniel F.
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Simplifique a expressão com radicais duplos abaixo:

\frac{\sqrt[]{\sqrt[4]{8}+\sqrt[]{\sqrt[]{2}-1}}-\sqrt[]{\sqrt[4]{8}-\sqrt[]{\sqrt[]{2}-1}}}{\sqrt[]{\sqrt[4]{8}-\sqrt[]{\sqrt[]{2}+1}}}

Resposta:
Dica:
\sqrt[]{2} (dica : igualar a expressão a x e elevar ao quadrado os dois lados)


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É só fazer a dica.


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Olá,

O resultado é igual a 1, certo?