[Integrais] Problema com resolucao

por **gabrielnandi** » Qui Jun 28, 2012 01:25

Caso possivel alguem ajudar na resolucao agradeco, estou com muitas dificuldade
Conforme a figura abaixo, suponha que uma vareta com um dos extremos fixos no polo de um sistema de coordenadas polares gire no sentido anti-horario a uma taxa constante de 1Rad/s. No instante t=0 um besouro sobre a vareta esta a 10mm do polo e se movendo para fora ao longo da vareta com uma velocidade constante de 2m/s. Sabendo que a equacao que descreve o caminho percorrido eh: r=20+10, determine a distancia que o besouro percorre durante os 5 primeiros segundos..
abaixo a imagem

por **Russman** » Qui Jun 28, 2012 08:12

O ponto de partida é identificar o diferencial de comprimento da trajetória. Este é

$ds=r(\theta).d \theta$ .

Portanto, o comprimento total da curva entre os ângulos $\theta (t_1)$ e $\theta (t_2)$ é dado por

$S=\int_{ \theta (t_1)}^{ \theta (t_2)}r( \theta )d\theta$ .

Veja que temos duas informações para o problema, quanto ao comportamento da evolução de $r(\theta )$ e $\theta$ .

$\left\{\begin{matrix} \frac{d}{dt}r=v\\ \frac{d}{dt}\theta =\omega \end{matrix}\right.$

onde

e $\omega$ são constantes dadas.
Assim,

$\left\{\begin{matrix} \frac{d}{dt}r=v \Rightarrow r(t)=r(0)+vt\\ \frac{d}{dt}\theta =\omega \Rightarrow d\theta (t)=\omega dt \end{matrix}\right.$ .

Substituindo na fórmula inicial, temos

$S=\int_{ \theta (t_1)}^{ \theta (t_2)}r( \theta )d\theta = \int_{0}^{t}(r(0)+vt)\omega dt=S(0)+\omega r(0)t+\frac{1}{2}\omega vt^{2}$ .

Portanto, reunindo as informações do problema

$S(t)=S(0)+\omega r(0)t+\frac{1}{2}\omega vt^{2} = 0 + 1.10.10^{-3}t+\frac{1}{2}1.2.t^{2} = 10^{-2}t+t^{2}$ .

Logo, para t=5