INTEGRAL TRIPLA

por **Garota nerd** » Qua Jun 27, 2012 17:40

Olá pessoal, o professor passou uma lista e só falta uma questão para resolver, é a seguinte:
Faça a mudança de variável necessária e para calcular a seguinte integral:
como não sei ainda usar as ferramentas aqui, vou colocar integral como: "S"
S(de -1 a 1)S(de -raiz(1-x²) a raiz(1-x²)S(x²+y²)² a 1. x²dzdydx
a resposta é pi\8
acho que o problema principal é fazer a mudança de variável, sei que x²+y²= r², então ficaria, de r^4 a 1.
Alguém poderia pelo menos me ajudar a converter utilizando, coordenadas cilíndricas ou esféricas.
Acho que irei conseguir fazer depois de converter.
Ficarei muito grata.

por **Russman** » Qua Jun 27, 2012 18:45

Imagino que a sua integral seja

$I = \int_{-1}^{1} \int_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}}\int_{x^{2}+y^{2}}^{1} x^2 dzdydx$ .

Certo?

Claramente a mudança de variável deve ser

$\left\{\begin{matrix} x=r.cos(\theta )\\ y=r.sin(\theta )\\ x^{2}+y^{2} = r^{2}\\ z=z \end{matrix}\right.$

por **Garota nerd** » Qua Jun 27, 2012 23:21

isso, só que x²+y² está ao quadrado, assim:
(x²+y²)²=(r²)²=r^4.
Minha dúvida principal, são os intervalos.
Eu acho que ficaria assim:
0 a 2pi para a primeira integral, 0 a 1 para a segunda, r^4 a 1.
Eu só quero conferir a integral convertida com seus novos intervalos.
aí ficariam as integrais x² dzdrdQ, ASSIM
aí substituiria x² por r²cos²x e montaria.
é algo assim?
Só quero mesmo organizar essa integral

obrigada ^^

por **Russman** » Qui Jun 28, 2012 00:29

Eu tentei visualizar que superfice a integral descreve. Fazendo a troca de variáveis, você deve obter

$I = \int_{0}^{2 \pi }\int_{0}^{1}\int_{r^{4}}^{1}r^{3}cos^{2}(\theta ) & dzdrd\theta$ .

Vai calcular o mesmo resultado.

É uma questão de fluxo?