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[Dúvida]Integral

[Dúvida]Integral

Mensagempor Jhonata » Sex Jun 15, 2012 21:17

Bem, estou com dificuldade nessa questão:
Calcule a Integral: \int_{} \frac{dx}{x^2+2x+5}. Eu tentei resolver com alguns metódos que já conheço, mas nenhuma está igual ao gabarito (que é: \frac{1}{2}arctg\left(\frac{x+1}{2} \right)+c).

Eu fui pedir ajuda ao meu professor, mas ele disse que é muito fácil e não iria resolver, então apenas me sugeriu que eu "completasse" os quadrados do denominador e depois aplicasse uma substituição simples para resolvê-la. Até aí tudo bem, mas eu não sei como "completar quadrados". Existe algum algoritmo, macete, ou qualquer coisa do gênero pra lidar com isso? Se alguém puder me ajudar, desde já, grato.
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Re: [Dúvida]Integral

Mensagempor DanielFerreira » Sex Jun 15, 2012 21:37

Jhonata,
boa noite!
Fiz pela dica dada, mas acho que não sai pela substituição simples e sim substituição trigonométrica.
Editado pela última vez por DanielFerreira em Sex Jun 15, 2012 22:16, em um total de 1 vez.
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Re: [Dúvida]Integral

Mensagempor DanielFerreira » Sex Jun 15, 2012 22:15

Tenho dificuldades em decorar fórmulas, por isso...
x^2 + 2x + 5 ==> x^2 + 2x + 1 + 4 ==> (x + 1)^2 + 4

Considere x + 1 = \gamma, com isso d\gamma = dx:

\int_{}^{}\frac{dx}{x^2 + 2x + 5} = \int_{}^{}\frac{dx}{(x + 1)^2 + 4} = \int_{}^{}\frac{d\gamma}{\gamma^2 + 4}

Desenhe um triângulo reto em B, faça:
BÃC = \theta

AB = 2

BC = \gamma, então:

AC = \sqrt[]{\gamma^2 + 4}

Calculando a tangente:
tg \theta = \frac{\gamma}{2} ==> \theta = arctg \frac{\gamma}{2}

\gamma = 2 tg\theta

Derivando \gamma...
d\gamma = \frac{2 d\theta}{cos^2\theta}

Fazendo a substituição:
\gamma^2 + 4 ==> 4tg^2\theta + 4 ==> \frac{4}{cos^2\theta}

Agora podemos continuar a integral:
\int_{}^{}\frac{d\gamma}{\gamma^2 + 4} =

\int_{}^{}\frac{\frac{2d\theta}{cos^2\theta}}{\frac{4}{cos^2\theta}} =

\int_{}^{}\frac{2d\theta}{4} =

\left[\frac{\theta}{2} \right] =

\left[\frac{arctg\left(\frac{\gamma}{2} \right)}{2} \right]

\frac{1}{2} . arctg\left(\frac{x + 1}{2} \right) + c

Espero ter ajudado!!
Editado pela última vez por DanielFerreira em Sex Jun 15, 2012 23:30, em um total de 1 vez.
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Re: [Dúvida]Integral

Mensagempor Jhonata » Sex Jun 15, 2012 22:23

danjr5 escreveu:Jhonata,
boa noite!
Fiz pela dica dada, mas acho que não sai pela substituição simples e sim substituição trigonométrica.


Boa noite danjr.
Você solucionou meu problema com a Integral. Mas como eu faço pra completar os quadrados? No caso, se eu encontrar outro problema do tipo, eu não saberia como fazer.
E olhando seu desenvolvimento, quando você completou os quadrados, eu entendi porque dá pra fazer com uma substituição simples, ao invés de fazer por substituição trigonométrica;
bastava fazer u=x+1 e du=dx
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Re: [Dúvida]Integral

Mensagempor DanielFerreira » Sex Jun 15, 2012 23:35

Boa noite!
Jhonata escreveu:Boa noite danjr.
(...) E olhando seu desenvolvimento, quando você completou os quadrados, eu entendi porque dá pra fazer com uma substituição simples, ao invés de fazer por substituição trigonométrica;
bastava fazer u=x+1 e du=dx

Não consegui visualizar! Poderia mostrar os cálculos??
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Re: [Dúvida]Integral

Mensagempor Jhonata » Sáb Jun 16, 2012 02:01

danjr5 escreveu:Boa noite!
Jhonata escreveu:Boa noite danjr.
(...) E olhando seu desenvolvimento, quando você completou os quadrados, eu entendi porque dá pra fazer com uma substituição simples, ao invés de fazer por substituição trigonométrica;
bastava fazer u=x+1 e du=dx

Não consegui visualizar! Poderia mostrar os cálculos??


Certamente.
Se substituirmos u=x+1 com du=dx, temos:
\int_{}^{}\frac{du}{\left(u \right^2+2^2)}=\frac{1}{2}arctg\left(\frac{u}{2} \right)+c=\frac{1}{2}arctg\left(\frac{x+1}{2} \right)+c
Achei bem mais fácil do que fazer por substituição trigonométrica.
Mas minha dúvida principal na questão é como completar quadrados.

Obrigado pela atenção.
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Re: [Dúvida]Integral

Mensagempor e8group » Sáb Jun 16, 2012 12:09

Jhonata escreveu:Achei bem mais fácil do que fazer por substituição trigonométrica.
Mas minha dúvida principal na questão é como completar quadrados


Bom dia Jhonata ,ainda não aprendi a integrar .Mas em relação a completar quadrados ,note que o mesmo é obtido por uma manipulação algebrica .por exemplo : seja f definida por f(x) de tal modo que f(x)= ax^2+bx +c  ;(   a,b , c ) \neq 0 .

Note se quisermos encontrar o valor de x para o qual f(x) equivale a zero ,temos :


ax^2+bx +c = 0 . Fazendo uma manipulação algebrica ,obtemos que ( ax)^2+abx + \frac{b^2}{4}  = \frac{b^2}{4} -ca .Observe que somamos e multiplicamos ambos membros da igualdade por ( \frac{b^2}{4} ; a) .

assim ,

4(ax+ \frac{b}{2})^2 = b^2 -4ac .

Como exercício para você praticar ,mostre quex_1 = \frac{-b -\sqrt (b^2 -4ac )}{2a} e x_2 =  \frac{-b +\sqrt (b^2 -4ac )}{2a} . sendo a,b e c \neq 0 .

OBS.: Neste link(http://www.youtube.com/watch?v=n_M5upL0U1Y) há uma video aula a respeito deste assunto .

Espero ter ajudado .

abraços .
e8group
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Re: [Dúvida]Integral

Mensagempor Jhonata » Sáb Jun 16, 2012 12:53

santhiago escreveu:
Jhonata escreveu:Achei bem mais fácil do que fazer por substituição trigonométrica.
Mas minha dúvida principal na questão é como completar quadrados


Bom dia Jhonata ,ainda não aprendi a integrar .Mas em relação a completar quadrados ,note que o mesmo é obtido por uma manipulação algebrica .por exemplo : seja f definida por f(x) de tal modo que f(x)= ax^2+bx +c  ;(   a,b , c ) \neq 0 .

Note se quisermos encontrar o valor de x para o qual f(x) equivale a zero ,temos :


ax^2+bx +c = 0 . Fazendo uma manipulação algebrica ,obtemos que ( ax)^2+abx + \frac{b^2}{4}  = \frac{b^2}{4} -ca .Observe que somamos e multiplicamos ambos membros da igualdade por ( \frac{b^2}{4} ; a) .

assim ,

4(ax+ \frac{b}{2})^2 = b^2 -4ac .

Como exercício para você praticar ,mostre quex_1 = \frac{-b -\sqrt (b^2 -4ac )}{2a} e x_2 =  \frac{-b +\sqrt (b^2 -4ac )}{2a} . sendo a,b e c \neq 0 .

OBS.: Neste link(http://www.youtube.com/watch?v=n_M5upL0U1Y) há uma video aula a respeito deste assunto .

Espero ter ajudado .

abraços .


Muito obrigado Santhiago. Foi esclarecedor e como eu já havia previsto, não há um algoritmo menos complexo, mas o que você fez deu pra entender muito bem. Parece que pra lidar com isso mesmo, terei de perder um tempo exercitando tal. Vou dar uma olhada no vídeo e muito obrigado pela sua grande ajuda e atenção.
Abraços.
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Re: [Dúvida]Integral

Mensagempor cferreira264 » Seg Jul 03, 2017 13:10

Usando a técnica de completar quadrados, como ficaria a equação t^2+\frac{3}{2}t-2=0 ?
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Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 09:10

Veja este exercício:

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} e B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z}, então o número de elementos A \cap B é:

Eu tentei resolver este exercício e achei a resposta "três", mas surgiram muitas dúvidas aqui durante a resolução.

Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?

No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero?
existe inverso de zero?
zero é par, certo?
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x?
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z?
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z?

A resposta é 3?

Obrigado.


Assunto: método de contagem
Autor: Molina - Seg Mai 25, 2009 20:42

Boa noite, sinuca.

Se A = {x \in Z \hspace{1mm} | \hspace{1mm} \frac{20}{x} = n, n \in N} você concorda que n só pode ser de 1 a 20? Já que pertence aos naturais?
Ou seja, quais são os divisores de 20? Eles são seis: 1, 2, 4, 5, 10 e 20.
Logo, o conjunto A é A = {1, 2, 4, 5, 10, 20}

Se B = {x \in R \hspace{1mm} | \hspace{1mm} x = 5m, m \in z} você concorda que x será os múltiplos de 5 (positivos e negativos)? Já que m pertence ao conjunto Z?
Logo, o conjunto B é B = {... , -25, -20, -15, -10, -5, 0, 5, 10, 15, 20, 25, ...

Feito isso precisamos ver os números que está em ambos os conjuntos, que são: 5, 10 e 20 (3 valores, como você achou).

Vou responder rapidamente suas dúvidas porque meu tempo está estourando. Qualquer dúvida, coloque aqui, ok?

sinuca147 escreveu:No processo de determinação dos elementos do conjunto B o que achei foi basicamente os múltiplos de cinco e seus opostos, daí me surgiram estas dúvidas:

existe oposto de zero? sim, é o próprio zero
existe inverso de zero? não, pois não há nenhum número que multiplicado por zero resulte em 1
zero é par, certo? sim, pois pode ser escrito da forma de 2n, onde n pertence aos inteiros
sendo x um número natural, -x é múltiplo de x? Sim, pois basta pegar x e multiplicar por -1 que encontramos -x
sendo z um número inteiro negativo, z é múltiplo de z? Sim, tais perguntando se todo número é multiplo de si mesmo
sendo z um número inteiro negativo, -z é múltiplo de z? Sim, pois basta pegar -z e multiplicar por -1 que encontramos x

A resposta é 3? Sim, pelo menos foi o que vimos a cima


Bom estudo, :y:


Assunto: método de contagem
Autor: sinuca147 - Seg Mai 25, 2009 23:35

Obrigado, mas olha só este link
http://www.colegioweb.com.br/matematica ... ro-natural
neste link encontra-se a a frase:
Múltiplo de um número natural é qualquer número que possa ser obtido multiplicando o número natural por 0, 1, 2, 3, 4, 5, etc.

Para determinarmos os múltiplos de 15, por exemplo, devemos multiplicá-lo pela sucessão dos números naturais:

Ou seja, de acordo com este link -5 não poderia ser múltiplo de 5, assim como 5 não poderia ser múltiplo de -5, eu sempre achei que não interessava o sinal na questão dos múltiplos, assim como você me confirmou, mas e essa informação contrária deste site, tem alguma credibilidade?

Há e claro, a coisa mais bacana você esqueceu, quero saber se existe algum método de contagem diferente do manual neste caso:
Para determinar os elementos do conjunto A, eu tive de basicamente fazer um lista de vinte dividido por todos os números naturais maiores que zero e menores que vinte e um, finalmente identificando como elementos do conjunto A os números 1, 2, 4, 5, 10 e 20. Acho que procedi de maneira correta, mas fiquei pensando aqui se não existiria um método mais "sofisticado" e prático para que eu pudesse identificar ou ao menos contar o número de elementos do conjunto A, existe?



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