[limites] Propriedades ou definição formal?

por **jvabatista** » Qua Jun 06, 2012 11:43

Como posso resolver o exercício abaixo? Tentei utilizar propriedades dos limites, definição formal, mas não cheguei a lugar algum.

Seja f uma função definioda em R e $\lim_{x\rightarrow0}\frac{f(x)}{x} = 1$ . Mostre que:

a) $\lim_{x\rightarrow0}\frac{f(3x)}{x} = 3$

b) $\lim_{x\rightarrow0}\frac{f({x}^{2})}{x} = 0$ .

por **hygorvv** » Qua Jun 06, 2012 15:58

jvabatista escreveu:Como posso resolver o exercício abaixo? Tentei utilizar propriedades dos limites, definição formal, mas não cheguei a lugar algum.

Seja f uma função definioda em R e $\lim_{x\rightarrow0}\frac{f(x)}{x} = 1$ . Mostre que:

a) $\lim_{x\rightarrow0}\frac{f(3x)}{x} = 3$

b) $\lim_{x\rightarrow0}\frac{f({x}^{2})}{x} = 0$ .

a)Sendo

, temos:
$lim_{x \to 0} \frac{f(3x)}{x}=lim_{k \to 0}\frac{f(k)}{\frac{k}{3}}=$
$lim_{k \to 0}3\frac{f(k)}{k}=3$

b)
$lim_{x \to 0}\frac{f(x^{2})}{x}=lim_{x \to 0}\frac{f(x^{2}).x}{x.x}=lim_{x \to 0}\frac{f(x^{2}).x}{x^{2}}=0$

Espero que seja isso e que te ajude.

por **jvabatista** » Qua Jun 06, 2012 17:32

Muito obrigado! Foi de grande ajuda. Continuarei enviando dúvidas que me surgirem. Abraços.

por **adauto martins** » Ter Out 14, 2014 20:05

a)f(3x)/x=3.(f(x3x)/3x)...como $\lim_{x\rightarrow0}f(x)/x=1$ ,entao $\lim_{x\rightarrow0}f(3x)/3x=1$ ,portanto $3.\lim_{x\rightarrow0}f(3x)/3x=3$ ...
b) $\lim_{x\rightarrow0}f({x}^{2})/x=\lim_{x\rightarrow0}x.(f({x}^{2})/{x}^{2})=\lim_{x\rightarrow0}x.\lim_{x\rightarrow0}f({x}^{2})/({x}^{2})=0.1=0$