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Integral de linha - 2

Integral de linha - 2

Mensagempor DanielFerreira » Dom Jun 03, 2012 16:14

danjr5 escreveu:Calcule \int_{\lambda}^{}ydx + x^2dy onde\lambda é uma curva, cuja imagem é o segmento de extremidades (1, 1) e (2, 2), orientada de (1, 1) para (2, 2).

Fiz assim:
F(x, y) = (y, x^2)

\frac{\partial F_1}{\partial y} = 1

\frac{\partial F_2}{\partial x} = 2x

Como o campo vetorial não é conservativo, não posso aplicar o Teorema \oint_{\lambda}^{}F.dr = f(2,2) - f(1,1).

Então, pelo Teorema de Green:
\oint_{\lambda}^{}F.dr = \int_{}^{}\int_{D}^{}\left(\frac{\partial F_2}{\partial x}- \frac{\partial F_1}{\partial y} \right)dxdy

\oint_{\lambda}^{}F.dr = \int_{1}^{2}\int_{1}^{2}(2x - 1)dxdy

\oint_{\lambda}^{}F.dr = \int_{1}^{2}\left[x^2 - x \right]_{1}^{2}dy

\oint_{\lambda}^{}F.dr = \int_{1}^{2}2dy

\oint_{\lambda}^{}F.dr = \left[2y \right]_{1}^{2}

\oint_{\lambda}^{}F.dr = 2

Mas, de acordo com o gabarito a resposta certa é \frac{23}{6}.

Desde já agradeço.

Att,

Daniel.
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Re: Integral de linha - 2

Mensagempor Russman » Dom Jun 03, 2012 18:48

Eu acredito que sua solução está correta.
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Re: Integral de linha - 2

Mensagempor DanielFerreira » Dom Jun 03, 2012 19:14

Russman,
valeu pela atenção!
O Teorema de Green aplica-se quando o caminho é fechado, então não pode ser aplicado em \lambda.

Numa conversa com o professor de Cálculo, ele deixou bem claro que deveríamos 'priorizar' os Teoremas(Green, Campo Gradiente) na resolução de Integrais de Linha. Enfim, entendi que a Definição deveria ser a última opção.

Pela Definição:
Parametrizando \lambda:
\sigma(t) = (t,t) ============> \sigma'(t) = (1,1)

x = t ================> dx = dt

y = t ================> dy = dt


\int_{\lambda }ydx + x^2dy = \int_{1}^{2}t.dt + t^2.dt

\int_{\lambda }ydx + x^2dy = \int_{1}^{2}(t + t^2)dt

\int_{\lambda }ydx + x^2dy = \left [\frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} \right ]_{1}^{2}

\int_{\lambda }ydx + x^2dy = 2 + \frac{8}{3} - \frac{1}{2} - \frac{1}{3}

\int_{\lambda }ydx + x^2dy = \frac{23}{6}
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Assunto: Exercicios de polinomios
Autor: shaft - Qua Jun 30, 2010 17:30

2x+5=\left(x+m\right)²-\left(x-n \right)²

Então, o exercicio pede para encontrar {m}^{3}-{n}^{3}.

Bom, tentei resolver a questão acima desenvolvendo as duas partes em ( )...Logo dps cheguei em um resultado q nao soube o q fazer mais.
Se vcs puderem ajudar !


Assunto: Exercicios de polinomios
Autor: Douglasm - Qua Jun 30, 2010 17:53

Bom, se desenvolvermos isso, encontramos:

2x+5 = 2x(m+n) + m^2-n^2

Para que os polinômios sejam iguais, seus respectivos coeficientes devem ser iguais (ax = bx ; ax² = bx², etc.):

2(m+n) = 2 \;\therefore\; m+n = 1

m^2-n^2 = 5 \;\therefore\; (m+n)(m-n) = 5 \;\therefore\; (m-n) = 5

Somando a primeira e a segunda equação:

2m = 6 \;\therefore\; m = 3 \;\mbox{consequentemente:}\; n=-2

Finalmente:

m^3 - n^3 = 27 + 8 = 35

Até a próxima.