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Integral de linha - 2

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Mensagempor DanielFerreira » Dom Jun 03, 2012 16:14

danjr5 escreveu:Calcule \int_{\lambda}^{}ydx + x^2dy onde\lambda é uma curva, cuja imagem é o segmento de extremidades (1, 1) e (2, 2), orientada de (1, 1) para (2, 2).

Fiz assim:
F(x, y) = (y, x^2)

\frac{\partial F_1}{\partial y} = 1

\frac{\partial F_2}{\partial x} = 2x

Como o campo vetorial não é conservativo, não posso aplicar o Teorema \oint_{\lambda}^{}F.dr = f(2,2) - f(1,1).

Então, pelo Teorema de Green:
\oint_{\lambda}^{}F.dr = \int_{}^{}\int_{D}^{}\left(\frac{\partial F_2}{\partial x}- \frac{\partial F_1}{\partial y} \right)dxdy

\oint_{\lambda}^{}F.dr = \int_{1}^{2}\int_{1}^{2}(2x - 1)dxdy

\oint_{\lambda}^{}F.dr = \int_{1}^{2}\left[x^2 - x \right]_{1}^{2}dy

\oint_{\lambda}^{}F.dr = \int_{1}^{2}2dy

\oint_{\lambda}^{}F.dr = \left[2y \right]_{1}^{2}

\oint_{\lambda}^{}F.dr = 2

Mas, de acordo com o gabarito a resposta certa é \frac{23}{6}.

Desde já agradeço.

Att,

Daniel.
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Re: Integral de linha - 2

Mensagempor Russman » Dom Jun 03, 2012 18:48

Eu acredito que sua solução está correta.
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Re: Integral de linha - 2

Mensagempor DanielFerreira » Dom Jun 03, 2012 19:14

Russman,
valeu pela atenção!
O Teorema de Green aplica-se quando o caminho é fechado, então não pode ser aplicado em \lambda.

Numa conversa com o professor de Cálculo, ele deixou bem claro que deveríamos 'priorizar' os Teoremas(Green, Campo Gradiente) na resolução de Integrais de Linha. Enfim, entendi que a Definição deveria ser a última opção.

Pela Definição:
Parametrizando \lambda:
\sigma(t) = (t,t) ============> \sigma'(t) = (1,1)

x = t ================> dx = dt

y = t ================> dy = dt


\int_{\lambda }ydx + x^2dy = \int_{1}^{2}t.dt + t^2.dt

\int_{\lambda }ydx + x^2dy = \int_{1}^{2}(t + t^2)dt

\int_{\lambda }ydx + x^2dy = \left [\frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} \right ]_{1}^{2}

\int_{\lambda }ydx + x^2dy = 2 + \frac{8}{3} - \frac{1}{2} - \frac{1}{3}

\int_{\lambda }ydx + x^2dy = \frac{23}{6}
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Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: my2009 - Qua Dez 08, 2010 21:48

Uma função polinomial f do 1° grau é tal que f(3) = 6 e f(4) = 8.Portanto o valor de f(10) é :


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: Anonymous - Qui Dez 09, 2010 17:25

Uma função de 1º grau é dada por y=ax+b.
Temos que para x=3, y=6 e para x=4, y=8.
\begin{cases}6=3a+b\\8=4a+b\end{cases}
Ache o valor de a e b, monte a função e substitua x por 10.


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: Pinho - Qui Dez 16, 2010 13:57

my2009 escreveu:Uma função polinomial f do 1° grau é tal que f(3) = 6 e f(4) = 8.Portanto o valor de f(10) é :



f(x)= 2.x
f(3)=2.3=6
f(4)=2.4=8
f(10)=2.10=20


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: dagoth - Sex Dez 17, 2010 11:55

isso ai foi uma questao da FGV?

haahua to precisando trocar de faculdade.


Assunto: (FGV) ... função novamente rs
Autor: Thiago 86 - Qua Mar 06, 2013 23:11

Saudações! :-D
ví suaquestão e tentei resolver, depois você conta-me se eu acertei.
Uma função de 1º grau é dada por y=3a+b

Resposta :
3a+b=6 x(4)
4a+b=8 x(-3)
12a+4b=24
-12a-3b=-24
b=0
substituindo b na 1°, ttenho que: 3a+b=6
3a+0=6
a=2
substituindo em: y=3a+b
y=30+0
y=30
:coffee: