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Integral de linha - 2

Integral de linha - 2

Mensagempor DanielFerreira » Dom Jun 03, 2012 16:14

danjr5 escreveu:Calcule \int_{\lambda}^{}ydx + x^2dy onde\lambda é uma curva, cuja imagem é o segmento de extremidades (1, 1) e (2, 2), orientada de (1, 1) para (2, 2).

Fiz assim:
F(x, y) = (y, x^2)

\frac{\partial F_1}{\partial y} = 1

\frac{\partial F_2}{\partial x} = 2x

Como o campo vetorial não é conservativo, não posso aplicar o Teorema \oint_{\lambda}^{}F.dr = f(2,2) - f(1,1).

Então, pelo Teorema de Green:
\oint_{\lambda}^{}F.dr = \int_{}^{}\int_{D}^{}\left(\frac{\partial F_2}{\partial x}- \frac{\partial F_1}{\partial y} \right)dxdy

\oint_{\lambda}^{}F.dr = \int_{1}^{2}\int_{1}^{2}(2x - 1)dxdy

\oint_{\lambda}^{}F.dr = \int_{1}^{2}\left[x^2 - x \right]_{1}^{2}dy

\oint_{\lambda}^{}F.dr = \int_{1}^{2}2dy

\oint_{\lambda}^{}F.dr = \left[2y \right]_{1}^{2}

\oint_{\lambda}^{}F.dr = 2

Mas, de acordo com o gabarito a resposta certa é \frac{23}{6}.

Desde já agradeço.

Att,

Daniel.
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Re: Integral de linha - 2

Mensagempor Russman » Dom Jun 03, 2012 18:48

Eu acredito que sua solução está correta.
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Re: Integral de linha - 2

Mensagempor DanielFerreira » Dom Jun 03, 2012 19:14

Russman,
valeu pela atenção!
O Teorema de Green aplica-se quando o caminho é fechado, então não pode ser aplicado em \lambda.

Numa conversa com o professor de Cálculo, ele deixou bem claro que deveríamos 'priorizar' os Teoremas(Green, Campo Gradiente) na resolução de Integrais de Linha. Enfim, entendi que a Definição deveria ser a última opção.

Pela Definição:
Parametrizando \lambda:
\sigma(t) = (t,t) ============> \sigma'(t) = (1,1)

x = t ================> dx = dt

y = t ================> dy = dt


\int_{\lambda }ydx + x^2dy = \int_{1}^{2}t.dt + t^2.dt

\int_{\lambda }ydx + x^2dy = \int_{1}^{2}(t + t^2)dt

\int_{\lambda }ydx + x^2dy = \left [\frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} \right ]_{1}^{2}

\int_{\lambda }ydx + x^2dy = 2 + \frac{8}{3} - \frac{1}{2} - \frac{1}{3}

\int_{\lambda }ydx + x^2dy = \frac{23}{6}
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}