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derivar função com módulo

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Mensagempor amanda costa » Sex Jun 01, 2012 01:10

Teve uma questão na minha prova de cálculo hoje que gostaria de saber qual é a resposta certa

Na função f(x)=\left(x-2 \right)\left|x \right| era pra mostrar se existia f'(0)

eu calculei e deu -2, mas acho que está errada. Se alguém puder me mostrar como resolve eu agradeço.
amanda costa
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Re: derivar função com módulo

Mensagempor Russman » Sex Jun 01, 2012 01:46

O limite da derivada quando x tente a 0 pela esqerda é 2 e pela direita é -2. Logo, não existe o limite bilateral. Assim, a derivada não existe.

Desenvolvendo direitinho, eu sugiro que você tome a função definida para os reais positivos e negativos. Derive e então estude os limites para x tendendo a 0 pela direita e pela esquerda! Isto é,

f(x)=\left(x-2 \right)\left|x \right|=\left\{\begin{matrix}
x^{2}-2x &,x>0 \\ 
 -x^{2}+2x&,x<0 
\end{matrix}\right.\Rightarrow f'(x)=\left\{\begin{matrix}
2x-2 &, x>0 \\ 
 -2x+2&,x<0 
\end{matrix}\right.

Assim,

\lim_{x\rightarrow 0^{+} }f'(x) = \lim_{x\rightarrow 0^{+} }(2x-2)=-2

e

\lim_{x\rightarrow 0^{-} }f'(x) = \lim_{x\rightarrow 0^{+} }(-2x+2)=2

Como você vê o limite bilateral L,

L=\lim_{x\rightarrow 0 }f'(x),

não existe. Assim, não existe a derivada dessa função em x=0.

Sinto muito.
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Re: derivar função com módulo

Mensagempor Francisco de Brito » Sex Jun 01, 2012 11:02

Uma função é derivável num ponto quando as derivadas laterais (a direita e a esquerda)
existem e são iguais neste ponto.

Só pra ter u,a noção melhor ainda do assunto .....
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Re: derivar função com módulo

Mensagempor Francisco de Brito » Sex Jun 01, 2012 11:03

Russman escreveu:O limite da derivada quando x tente a 0 pela esqerda é 2 e pela direita é -2. Logo, não existe o limite bilateral. Assim, a derivada não existe.

Desenvolvendo direitinho, eu sugiro que você tome a função definida para os reais positivos e negativos. Derive e então estude os limites para x tendendo a 0 pela direita e pela esquerda! Isto é,

f(x)=\left(x-2 \right)\left|x \right|=\left\{\begin{matrix}
x^{2}-2x &,x>0 \\ 
 -x^{2}+2x&,x<0 
\end{matrix}\right.\Rightarrow f'(x)=\left\{\begin{matrix}
2x-2 &, x>0 \\ 
 -2x+2&,x<0 
\end{matrix}\right.

Assim,

\lim_{x\rightarrow 0^{+} }f'(x) = \lim_{x\rightarrow 0^{+} }(2x-2)=-2

e

\lim_{x\rightarrow 0^{-} }f'(x) = \lim_{x\rightarrow 0^{+} }(-2x+2)=2

Como você vê o limite bilateral L,

L=\lim_{x\rightarrow 0 }f'(x),

não existe. Assim, não existe a derivada dessa função em x=0.

Sinto muito.



Uma função é derivável num ponto quando as derivadas laterais (a direita e a esquerda)
existem e são iguais neste ponto.
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Re: derivar função com módulo

Mensagempor joaofonseca » Sex Jun 01, 2012 18:49

Genericamente as funções modulo são continuas mas não são difererenciáveis
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}