[Integral por partes] onde está o erro???

por **Fabio Wanderley** » Seg Mai 28, 2012 20:21

Olá colegas,

Segue um exercício que não consigo revolvê-lo...

"Ao calcular a integral $\int_{}^{}\frac{1}{x}dx$ , Joãozinho procedeu da seguinte maneira.

Fazendo $u = \frac{1}{x}$ , e dv = dx

, podemos tomar v = x, e teremos $du = -\frac{1}{x^2}dx$ .

$\int_{}^{}\frac{1}{x}dx = \int_{}^{}udv = uv - \int_{}^{}vdu$

$= \frac{1}{x}.x-\int_{}^{}x\left(-\frac{1}{x^2} \right)dx = 1 + \int_{}^{}\frac{1}{x}dx$

Sendo $J = \int_{}^{}\frac{1}{x}dx$ , temos então J = 1 + J, logo 0 = 1.

Onde está o erro no argumento de Joãozinho?"

Alguém pode me ajudar?

por **LuizAquino** » Ter Mai 29, 2012 12:18

Fabio Wanderley escreveu:"Ao calcular a integral $\int_{}^{}\frac{1}{x}dx$ , Joãozinho procedeu da seguinte maneira.

Fazendo $u = \frac{1}{x}$ , e , podemos tomar v = x, e teremos $du = -\frac{1}{x^2}dx$ .

$\int_{}^{}\frac{1}{x}dx = \int_{}^{}udv = uv - \int_{}^{}vdu$

$= \frac{1}{x}.x-\int_{}^{}x\left(-\frac{1}{x^2} \right)dx = 1 + \int_{}^{}\frac{1}{x}dx$

Sendo $J = \int_{}^{}\frac{1}{x}dx$ , temos então J = 1 + J, logo 0 = 1.

Onde está o erro no argumento de Joãozinho?"

Fabio Wanderley escreveu:Segue um exercício que não consigo revolvê-lo...

Alguém pode me ajudar?

O erro está no fato que Joãozinho esqueceu das constantes que aparecem no desenvolver da integração por partes.

Quando estamos resolvendo integração por partes, aparecem duas constantes durante o processo, que no final são "resumidas" em uma só.

Vejamos um exemplo. Suponha que você deseja calcular:

$\int x\cos x \, dx$

Fazendo u = x e $dv = \cos x \, dx$ , temos que du = dx e $v = \,\textrm{sen}\,x$ . Temos então que:

$\int x\cos x \, dx = x\,\textrm{sen}\,x + c_1 - \int \,\textrm{sen}\,x \,dx$

$\int x\cos x \, dx = x\,\textrm{sen}\,x + c_1 - \left(-\cos x + c_2\right)$

$\int x\cos x \, dx = x\,\textrm{sen}\,x + c_1 + \cos x - c_2$

Como c_1

e

são constantes, podemos chamar c_1-c_2

de uma outra constante. Digamos que vamos chamar de c. Ficamos então com:

$\int x\cos x \, dx = x\,\textrm{sen}\,x + \cos x + c$

Com a prática, acabamos "ignorando" essas constantes em cada passo do desenvolvimento, sendo que apenas colocamos uma constante no final das contas. Mas é justamente esse fato de ignorar as constantes que fez Joãozinho errar. Ele deveria ter escrito algo como:

$\int \frac{1}{x}\,dx = \frac{1}{x}\cdot x + c_1 - \int x\left(-\frac{1}{x^2} \right)\,dx = 1 + c_1 + \int\frac{1}{x}\,dx$

Se ele tivesse agora definido que $J = \int \frac{1}{x}\,dx$ , ele poderia escrever que J = 1 + c_1 + J

. Nesse contexto, ele iria concluir que c_1 = -1

. Se ele tivesse agora substituído essa constante no desenvolvimento da integral, ele teria chegado a uma conclusão óbvia: J = J.

por **Fabio Wanderley** » Ter Mai 29, 2012 13:42

Muito obrigado, professor Luiz Aquino!

Eu estava fazendo os passos desse exercício várias e várias vezes e não identificava esse erro. Realmente eu estava tentando resolver de forma muito mecânica... agora ficou claro! :-D